如果實(shí)數(shù)x，y，t滿足|x-t|≤|y-t|，則稱x比y接近t．
（Ⅰ）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若a|a|比a更接近1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）=ln

x-1

x+1

，證明：

n

k=2

f(k)比

2-n-n2

2n(n+1)

更接近0（k∈Z）．

已知函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)0＜L＜1時(shí)，對(duì)于任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…
（1）證明：

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|；
（2）令Ak=

a1+a2+…ak

k

(k=1，2，3)，證明：

n

k=1

|Ak-Ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．．

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n³+a_n²（1-a_n+1）+1=a_n+1．
（1）比較a_n與a_n+1的大小，并證明你的結(jié)論．
（2）若bn=（1-

a 2 n

a 2 n+1

）

1

an

，其中n∈N^*，證明0＜

n

k-1

bk＜2．

（2012•自貢三模）已知數(shù)列{a_n} 中a₁=2，點(diǎn)（a_n，a_n+1） 在函數(shù)f（x）=x²+2x的圖象上，n∈N^*．?dāng)?shù)列 {b_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足b₁=1，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n²=b_n（S_n-

1

2

）
（1）證明數(shù)列{lg（1+a_n）}是等比數(shù)列；
（2）求S_n；
（3）設(shè)T_n=（1+a₁）（1+a₂）+…+（1+a_n），c_n=

2Sn

2n+1

，求

lim

n→∞

[

Tn

32n+1

•

n

k=1

ck]的值．

已知數(shù)列{a_n}，a_n=

αn-βn

α-β

(n=1，2，…)，其中α，β是方程x²-x-1=0的兩個(gè)根．
（1）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，都有a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）若數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)都是正整數(shù)，試證明：任意相鄰兩項(xiàng)的最大公約數(shù)均為1；
（3）若β＜α，b_n=

|α|-|β|

n(|α|n-|β|n)

，n=1，2，…，證明：

n

k=1

bk＜2．