為了了解某市工人開展體育活動的情況，擬采用分層抽樣的方法從A，B，C三個區(qū)中抽取7個工廠進行調(diào)查，已知A，B，C區(qū)中分別有18，27，18個工廠

（Ⅰ）從A，B，C區(qū)中分別抽取的工廠個數(shù)；

（Ⅱ）若從抽取的7個工廠中隨機抽取2個進行調(diào)查結(jié)果的對比，計算這2個工廠中至少有1個來自A區(qū)的概率.

【解析】本試題主要考查了統(tǒng)計和概率的綜合運用。

第一問工廠總數(shù)為18+27+18=63，樣本容量與總體中的個體數(shù)比為7/63=1/9…3分

所以從A，B，C三個區(qū)中應分別抽取的工廠個數(shù)為2，3，2。

第二問設(shè)A₁，A₂為在A區(qū)中的抽得的2個工廠，B₁，B₂­，B₃為在B區(qū)中抽得的3個工廠，

C₁，C₂為在C區(qū)中抽得的2個工廠。

這7個工廠中隨機的抽取2個，全部的可能結(jié)果有1/2*7*6=32種。

隨機的抽取的2個工廠至少有一個來自A區(qū)的結(jié)果有A₁，A₂），A₁，B₂），A₁，B₁），

A₁，B₃）A₁，C₂），A₁，C₁）， …………9分

同理A₂還能給合5種，一共有11種。  

所以所求的概率為p=11/21

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E是BC的中點，沿AE，DE將折起，使得B與C重合于O．

（Ⅰ）設(shè)Q為AE的中點，證明：QDAO；

（Ⅱ）求二面角O—AE—D的余弦值．

【解析】第一問中，利用線線垂直，得到線面垂直，然后利用性質(zhì)定理得到線線垂直。取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

第二問中，作MNAE,垂足為N，連接DN

因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因為AODM ，DM平面AOE

因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

（1）取AO中點M，連接MQ，DM，由題意可得：AOEO, DOEO，

AO=DO=2．AODM

因為Q為AE的中點，所以MQ//E0,MQAO

AO平面DMQ,AODQ

（2）作MNAE,垂足為N，連接DN

因為AOEO, DOEO，EO平面AOD，所以EODM

，因為AODM ，DM平面AOE

因為MNAE，DNAE, DNM就是所求的DM=，MN=,DN=,COSDNM=

二面角O-AE-D的平面角的余弦值為

 兩個盒內(nèi)分別盛著寫有0，1，2，3，4，5六個數(shù)字的六張卡片，若從每盒中各取一張，求所取兩數(shù)之和等于6的概率，現(xiàn)有甲、乙兩人分別給出的一種解法：

甲的解法：因為兩數(shù)之和可有0，1，2，…，10共11種不同的結(jié)果，所以所求概率為．

乙的解法：從每盒中各取一張卡片，共有36種取法，其中和為6的情況有5種：（1，5）、（5，1）、（2，4）、（4，2）、（3，3）因此所求概率為．

試問哪一種解法正確？為什么？

如圖，在四棱錐 中，底面 是邊長為1的菱形， ,  底面 ,  , 為 的中點.

（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大��；

（Ⅱ）求平面 與平面 所成的二面角的余弦值.