(13分)已知橢圓的長軸長為4，A,B,C是橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓的中心O，且，，如圖.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如果橢圓上的兩點(diǎn)P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實(shí)數(shù)，使得？請說明理由.

(13分)在中學(xué)階段,對許多特定集合(如實(shí)數(shù)集、復(fù)數(shù)集以及平面向量集等)的學(xué)習(xí)常常是以定義運(yùn)算(如四則運(yùn)算)和研究運(yùn)算律為主要內(nèi)容.現(xiàn)設(shè)集合由全體二元有序?qū)崝?shù)組組成,在上定義一個(gè)運(yùn)算,記為,對于中的任意兩個(gè)元素,,規(guī)定:.

(1)計(jì)算:;

(2)請用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表述運(yùn)算滿足交換律,并給出證明;

(3)若“中的元素”是“對,都有成立”的充要條件,試求出元素.

(13分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(x≠0，常數(shù)a∈R).

(1)討論函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；

(2)若函數(shù)f(x)在x∈[3，＋∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍.

(13分) （理科）已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且以拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的一條準(zhǔn)線．動(dòng)直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)．

（1）求雙曲線的方程；

（2）無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，在雙曲線上是否總存在定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

(13分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不同動(dòng)點(diǎn)Ａ、Ｂ滿足（如圖所示）．

（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；

（Ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．