將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實數(shù)．定義映射f的模為：在|

x

|=1的條件下|

y

|的最大值，記做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及實數(shù)λ使得f（

x

）=λ

x

，則稱λ為f的一個特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計算f的特征值，并求相應(yīng)的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實數(shù)a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿足什么條件？試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗證f滿足這兩個條件．

將所有平面向量組成的集合記作R²，f是從R²到R²的映射，記作

y

=f(

x

)或（y₁，y₂）=f（x₁，x₂），其中x₁，x₂，y₁，y₂都是實數(shù)．定義映射f的模為：在|

x

|=1的條件下|

y

|的最大值，記做||f||．若存在非零向量

x

∈R²，及實數(shù)λ使得f（

x

）=λ

x

，則稱λ為f的一個特征值．
（1）若f（x₁，x₂）=（

1

2

x₁，x₂），求||f||；
（2）如果f（x₁，x₂）=（x₁+x₂，x₁-x₂），計算f的特征值，并求相應(yīng)的

x

；
（3）若f（x₁，x₂）=（a₁x₁+a₂x₂，b₁x₁+b₂x₂），要使f有唯一的特征值，實數(shù)a₁，a₂，b₁，b₂應(yīng)滿足什么條件？試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗證f滿足這兩個條件．

一次圍棋擂臺賽，由一位職業(yè)圍棋高手設(shè)擂做擂主，甲、乙、丙三位業(yè)余圍棋高手攻擂．如果某一業(yè)余棋手獲勝，或者擂主戰(zhàn)勝全部業(yè)余棋手，則比賽結(jié)束．已知甲、乙、丙三人戰(zhàn)勝擂主的概率分別為p₁，p₂，p₃，每人能否戰(zhàn)勝擂主是相互獨立的．
（1）求這次擂主能成功守擂（即戰(zhàn)勝三位攻擂者）的概率；
（2）若按甲、乙、丙順序攻擂，這次擂臺賽共進行了x次比賽，求x得數(shù)學(xué)期望；
（3）假定p₃＜p₂＜p₁＜1，試分析以怎樣的先后順序出場，可使所需出場人員數(shù)的均值（數(shù)學(xué)期望）達到最小，并證明你的結(jié)論．