（本小題滿分14分）

    已知函數(shù)，.

   （1）若函數(shù)在時取得極值，求的單調(diào)遞減區(qū)間；

   （2）證明：對任意的x∈R，都有||≤| x |；

   （3）若a＝2，∈[，]），，求證：…+＜（n∈N*）.

已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)＝，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實數(shù)x只有一個．

(1)求函數(shù)f(x)的表達式；

(2)若數(shù)列{a_n}滿足a₁＝，a_n+1＝f(a_n)，b_n＝－1，n∈N^*，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出{b_n}的通項公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n<1(n∈N^*)．

【解析】解： (1)由f(x)＝，f(1)＝1，得a＝2b＋1.

由f(x)＝2x只有一解，即＝2x，

也就是2ax²－2(1＋b)x＝0(a≠0)只有一解，

∴b＝－1.∴a＝－1.故f(x)＝.…………………………………………4分

(2)a_n＋1＝f(a_n)＝(n∈N^*)，b_n＝－1， ∴＝＝＝，

∴{b_n}為等比數(shù)列，q＝.又∵a₁＝，∴b₁＝－1＝，

b_n＝b₁q^n－1＝^n－1＝ⁿ(n∈N^*)．……………………………9分

(3)證明：∵a_nb_n＝a_n＝1－a_n＝1－＝，

∴a₁b₁＋a₂b₂＋…＋a_nb_n＝＋＋…＋<＋＋…＋

＝＝1－<1(n∈N^*)．

 （2005年湖南理科高考題14分）

自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響．用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N^＊，且x₁>0．不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．

   （1）求x_n＋1與x_n的關(guān)系式；

   （2）猜測：當且僅當x₁，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）

   （3）設(shè)a＝2，c＝1，為保證對任意x₁∈（0，2），都有x_n>0，n∈N^＊，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論．

函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且對一切x>0，y>0都有f（）＝f(x)－f(y)，當x>1時，有f(x)>0.

(1)求f(1)的值；

(2)判斷f(x)的單調(diào)性并加以證明；

(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)，.
（1）若函數(shù)在時取得極值，求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）證明：對任意的x∈R，都有||≤| x |；
（3）若a＝2，∈[，]），，求證：…+＜（n∈N*）.