一段長為32米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18米，問這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

【解析】解：令矩形與墻垂直的兩邊為寬并設(shè)矩形寬為，則長為

所以矩形的面積   （）     （4分=128    （8分）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，此時(shí)有最大值128

所以當(dāng)矩形的長為=16，寬為8時(shí)，

菜園面積最大，最大面積為128 （13分）答：當(dāng)矩形的長為16米，寬為8米時(shí)。菜園面積最大，最大面積為128平方米（注：也可用二次函數(shù)模型解答）

 

設(shè)向量，，其中，由不等式 恒成立，可以證明（柯西）不等式（當(dāng)且僅當(dāng)∥，即時(shí)等號成立），己知，若恒成立，利用可西不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是        

 

設(shè)向量，，其中，由不等式 恒成立，可以證明（柯西）不等式（當(dāng)且僅當(dāng)∥，即時(shí)等號成立），己知，若恒成立，利用可西不等式可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是        

 

已知

（1）求函數(shù)在上的最小值

（2）對一切的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（3）證明對一切，都有成立

【解析】第一問中利用

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

第二問中，，則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷σ磺?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131571401959588_ST.files/image005.png">，恒成立， 

第三問中問題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對一切，都有成立

解：（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

                 …………4分

（2），則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷σ磺?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911311009329402/SYS201207091131571401959588_ST.files/image005.png">，恒成立，                                             …………9分

（3）問題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對一切，都有成立

 

對于問題：“已知兩個(gè)正數(shù)x，y滿足x+y=2，求的最小值”，給出如下一種解法：
Qx+y=2，∴==，
Qx＞0，y＞0，∴，∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值．
參考上述解法，已知A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為    ．