題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分14分)
有一隧道既是交通擁擠地段,又是事故多發(fā)地段.為了保證安全,交通部門規(guī)定,隧道內(nèi)的車距正比于車速的平方與車身長的積,且車距不得小于一個車身長(假設(shè)所有車身長均為).而當(dāng)車速為時,車距為1.44個車身長.
⑴求通過隧道的最低車速;
⑵在交通繁忙時,應(yīng)規(guī)定怎樣的車速,可以使隧道在單位時段內(nèi)通過的汽車數(shù)量最多?
為了解高中一年級學(xué)生身高情況,某校按10%的比例對全校700名高中一年級學(xué)生按性別進行抽樣檢查,測得身高頻數(shù)分布表如下表1、表2.
表1:男生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) |
[160,165) |
[165,170) |
[170,175) |
[175,180) |
[180,185) |
[185,190) |
頻數(shù) |
2 |
5 |
14 |
13 |
4 |
2 |
表2:女生身高頻數(shù)分布表
身高(cm) |
[150,155) |
[155,160) |
[160,165) |
[165,170) |
[170,175) |
[175,180) |
頻數(shù) |
1 |
7 |
12 |
6 |
3 |
1 |
(I)求該校男生的人數(shù)并完成下面頻率分布直方圖;
(II)估計該校學(xué)生身高在的概率;
(III)從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人,求至少有1人身高在185190cm之間的概率。
【解析】第一問樣本中男生人數(shù)為40 ,
由分層抽樣比例為10%可得全校男生人數(shù)為400
(2)中由表1、表2知,樣本中身高在的學(xué)生人數(shù)為:5+14+13+6+3+1=42,樣本容量為70 ,所以樣本中學(xué)生身高在的頻率
故由估計該校學(xué)生身高在的概率
(3)中樣本中身高在180185cm之間的男生有4人,設(shè)其編號為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人,設(shè)其編號為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹狀圖,故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15,求至少有1人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9,因此,所求概率
由表1、表2知,樣本中身高在的學(xué)生人數(shù)為:5+14+13+6+3+1=42,樣本容量為70 ,所以樣本中學(xué)生身高在
的頻率-----------------------------------------6分
故由估計該校學(xué)生身高在的概率.--------------------8分
(3)樣本中身高在180185cm之間的男生有4人,設(shè)其編號為①②③④ 樣本中身高在185190cm之間的男生有2人,設(shè)其編號為⑤⑥從上述6人中任取2人的樹狀圖為:
--10分
故從樣本中身高在180190cm之間的男生中任選2人得所有可能結(jié)果數(shù)為15,求至少有1人身高在185190cm之間的可能結(jié)果數(shù)為9,因此,所求概率
某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價格出售。如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理。
(Ⅰ)若花店一天購進17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式。
(Ⅱ)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
頻數(shù) |
10 |
20 |
16 |
16 |
15 |
13 |
10 |
(i)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購進17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(單位:元)的平均數(shù);
(ii)若花店一天購進17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤不少于75元的概率.
【命題意圖】本題主要考查給出樣本頻數(shù)分別表求樣本的均值、將頻率做概率求互斥事件的和概率,是簡單題.
【解析】(Ⅰ)當(dāng)日需求量時,利潤=85;
當(dāng)日需求量時,利潤,
∴關(guān)于的解析式為;
(Ⅱ)(i)這100天中有10天的日利潤為55元,20天的日利潤為65元,16天的日利潤為75元,54天的日利潤為85元,所以這100天的平均利潤為
=76.4;
(ii)利潤不低于75元當(dāng)且僅當(dāng)日需求不少于16枝,故當(dāng)天的利潤不少于75元的概率為
已知遞增等差數(shù)列滿足:,且成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)若不等式對任意恒成立,試猜想出實數(shù)的最小值,并證明.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的運用以及數(shù)列求和的運用。第一問中,利用設(shè)數(shù)列公差為,
由題意可知,即,解得d,得到通項公式,第二問中,不等式等價于,利用當(dāng)時,;當(dāng)時,;而,所以猜想,的最小值為然后加以證明即可。
解:(1)設(shè)數(shù)列公差為,由題意可知,即,
解得或(舍去). …………3分
所以,. …………6分
(2)不等式等價于,
當(dāng)時,;當(dāng)時,;
而,所以猜想,的最小值為. …………8分
下證不等式對任意恒成立.
方法一:數(shù)學(xué)歸納法.
當(dāng)時,,成立.
假設(shè)當(dāng)時,不等式成立,
當(dāng)時,, …………10分
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,只要證 ,
只要證 ,顯然成立.所以,對任意,不等式恒成立.…14分
方法二:單調(diào)性證明.
要證
只要證 ,
設(shè)數(shù)列的通項公式, …………10分
, …………12分
所以對,都有,可知數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.
而,所以恒成立,
故的最小值為.
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。
第一問中,利用當(dāng)時,.
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時,.
,
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時,在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時,令,對稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時,在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時,, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
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