已知函數(shù)，；

（Ⅰ）證明是奇函數(shù)；（Ⅱ）證明在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；

（Ⅲ）分別計算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和的對所有不等于零的實數(shù)都成立的一個等式，并加以證明.

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，；

（Ⅰ）證明是奇函數(shù)；

（Ⅱ）證明在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；

（Ⅲ）分別計算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和的對所有不等于零的實數(shù)都成立的一個等式，并加以證明

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，；

（Ⅰ）證明是奇函數(shù)；

（Ⅱ）證明在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；

（Ⅲ）分別計算和的值，由此概括出涉及函數(shù)和的對所有不等于零的實數(shù)都成立的一個等式，并加以證明.

如圖，，，…，，…是曲線上的點，，，…，，…是軸正半軸上的點，且，，…，，… 均為斜邊在軸上的等腰直角三角形（為坐標原點）．

（1）寫出、和之間的等量關系，以及、和之間的等量關系；

（2）求證：（）；

（3）設，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

【解析】第一問利用有，得到

第二問證明：①當時，可求得，命題成立；②假設當時，命題成立，即有則當時，由歸納假設及，

得

第三問 

．………………………2分

因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，最大為，即

解：（1）依題意，有，，………………4分

（2）證明：①當時，可求得，命題成立； ……………2分

②假設當時，命題成立，即有，……………………1分

則當時，由歸納假設及，

得．

即

解得（不合題意，舍去）

即當時，命題成立．  …………………………………………4分

綜上所述，對所有，．    ……………………………1分

（3） 

．………………………2分

因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，最大為，即

．……………2分

由題意，有． 所以，