(Ⅰ)求四棱錐P―ABCD的體積,(Ⅱ)證明PA⊥BD. 【查看更多】

 

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精英家教網(wǎng)四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD．
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化．面與面所成的二面角恒大于90°．

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四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.

         （1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；

         （2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

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四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD.
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

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四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥面ABCD，
（Ⅰ）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（Ⅱ）證明無論四棱錐的高怎樣變化，面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°。

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四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD．
（1）若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°，求這個四棱錐的體積；
（2）證明無論四棱錐的高怎樣變化．面與面所成的二面角恒大于90°．

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一、選擇題

（1）D      （2）C      （3）A      （4）D      （5）A      （6）B

（7）C      （8）A      （9）B      （10）A     （11）B     （12）C

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.

（13）28    （14）   （15）    （16）2

三、解答題

（17）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系式，二倍角公式以及三角函數(shù)式的恒等變形等基礎知識和基本技能.滿分12分.

解：

                     

   當為第二象限角，且時

   ，

所以=

（18）本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)計算，利用導數(shù)討論函數(shù)的性質，判斷函數(shù)的最大值、最小值以及綜合運算能力.滿分12分.

   解：

令 

化簡為  解得

當單調增加；

當單調減少.

所以為函數(shù)的極大值.

又因為  

所以   為函數(shù)在[0，2]上的最小值，為函數(shù)

在[0，2]上的最大值.

（19）本小題主要考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望等概念，以及運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.滿分12分.

   解：（Ⅰ）的可能值為－300，－100，100，300.

P（=－300）=0.23=0.008, P（=－100）=3×0.22×0.8=0.096,

P（=100）=3×0.2×0.82=0.384, P（=300）=0.83=0.512,

所以的概率分布為

－300

－100

100

300

P

0.008

0.096

0.384

0.512

根據(jù)的概率分布，可得的期望

E=（－300）×0.08+（－100）×0.096+100×0.384+300×0.512=180.

（Ⅱ）這名同學總得分不為負分的概率為P（≥0）=0.384+0.512=0.896.

   解：（Ⅰ）如圖1，取AD的中點E，連結PE，則PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足為O，連結OE.

根據(jù)三垂線定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO為側面PAD與底面所成的二面角的平面角，

由已知條件可知∠PEO=60°，PE=6，

所以PO=3，四棱錐P―ABCD的體積

VP―ABCD=

（Ⅱ）解法一：如圖1，以O為原點建立空間直角坐標系.通過計算可得

P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0）

所以

因為 所以PA⊥BD.

解法二：如圖2，連結AO，延長AO交BD于點F.通過計算可得EO=3，AE=2，

      
   
      
    
    
      
    
      得
      所以  Rt△AEO∽Rt△BAD.
              得∠EAO=∠ABD.
              所以∠EAO+∠ADF=90°
         所以  AF⊥BD.
         因為  直線AF為直線PA在平面ABCD 內的身影，所以PA⊥BD.
      （21）本小題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質以及綜合運算能力.滿分12分.
        解：直線的方程為，即  
      由點到直線的距離公式，且，得到點（1，0）到直線的距離
      ，
      同理得到點（－1，0）到直線的距離
      由   即   
      于是得  
      解不等式，得   由于所以的取值范圍是
      （22）本小題主要考查函數(shù)的導數(shù)，三角函數(shù)的性質，等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念和性質，以及綜合運用的能力.滿分14分.
      （Ⅰ）證明：
      由得
      解出為整數(shù)，從而
              
        
             所以數(shù)列是公比的等比數(shù)列，且首項
      （Ⅱ）解：
               

      從而   
           
      因為，所以
      		
      
	
	
      
		
      


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