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若anan-1…a1a0(k)表示一個(gè)k進(jìn)制數(shù),寫成各位上數(shù)字與k的冪的乘積之和的形式為anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a2×k2+a1×k+a0.
因此,只要計(jì)算出上式等號(hào)右邊的值,就得到了相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù).請(qǐng)運(yùn)用你學(xué)過的算法知識(shí)來(lái)寫出這個(gè)問題的解決辦法.
對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)和,規(guī)定:
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立
運(yùn)算“”為:,
運(yùn)算“”為: 。
現(xiàn)設(shè),若,則= 。
若是正常數(shù),,,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式
取等號(hào). 利用以上結(jié)論,可以得到函數(shù)()的最小值為 .
我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù)組成集合M:函數(shù),對(duì)任意均滿足,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
(1)若定義在(0,+∞)上的函數(shù)∈M,試比較與大小.
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=-x2,求證:g(x)∈M.
已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故當(dāng)時(shí),取最小值
于是對(duì)一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng). 、
令則
當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.
故當(dāng)時(shí),取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),①式成立.
綜上所述,的取值集合為.
(Ⅱ)由題意知,令則
令,則.當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.故當(dāng),即
從而,又
所以因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
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