題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題5分,滿分60分.
(1)B (2)D (3)D (4)B (5)B (6)C
(7)B (8)C (9)D (10)C (11)B (12)A
二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題4分,滿分16分.
(13) (14)6,30,10 (15)120 (16)①④⑤
三、解答題:
(17)本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)和恒等變換的基本技能,考查畫圖的技能,滿分12分.
解(I)
所以函數(shù)的最小正周期為π,最大值為.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
1
1
1
故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是
(18)本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查空間想像能力和推理運(yùn)算能力,滿分12分.
解法一:(Ⅰ)連結(jié)BG,則BG是BE在面ABD的射影,即∠EBG是A1B與平面ABD所成的角.
設(shè)F為AB中點(diǎn),連結(jié)EF、FC,
∵ D、E分別是CC1、A1B的中點(diǎn),又DC⊥平面ABC,
∴ CDEF為矩形.
連結(jié)DF,G是△ADB的重心,
∴G∈DF.
在直角三角形EFD中,
,
∵ EF=1,∴ ……4分
于是
∵ ∴
∴
∴ A1B與平面ABC所成的角是
(Ⅱ)連結(jié)A1D,有
∵ ED⊥AB,ED⊥EF,又EFAB=F,
∴ ED⊥平面A1AB.
設(shè)A1到平面AED的距離為h.
則
又
∴
即A1到平面AED的距離為
解法二: (Ⅰ)連結(jié)BG,則BG是BE在面ABD的射影,即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角.
如圖所示建立坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,設(shè)CA=2a,則 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),.
∴ ,.
∴ ,解得 a=1.
∴ ,.
∴ .
A1B與平面ABD所成角是.
(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).
,
,
∴ ED⊥平面AA1E,又EDÌ平面AED,
∴ 平面AED⊥平面AA1E,又面AED面AA1E=AE,
∴ 點(diǎn)A1在平面AED的射影K在AE上.
設(shè) ,
則 .
由 ,即l+l+l-2=0,
解得 .
∴ .
∴ .
故A1到平面AED的距離為.
(19)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力.滿分12分.
解:.
當(dāng)a>0,x>0時(shí)
f ¢(x)>0Ûx2+(2a-4)x+a2>0,
f ¢(x)<0Ûx2+(2a-4)x+a2<0.
(?)當(dāng)a > 1時(shí),對(duì)所有x > 0,有
x2+(2a-4)x+a2>0,
即f ¢(x)>0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(?)當(dāng)a=1時(shí),對(duì)x≠1,有
x2+(2a-4)x+a2>0,
即f ¢(x)>0,此時(shí)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
又知函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù),因此,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(?)當(dāng)0<a<1時(shí),令f ¢(x)>0,即
x2+(2a-4)x+a2>0,
解得,或.
因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.
令f ¢(x)<0,即x2+(2a-4)x+a2 < 0,
解得
.
因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
(20)本小題考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念,考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,滿分12分.
解:(Ⅰ)x,h的可能取值分別為3,2,1,0.
,
,
,
;
根據(jù)題意知x+h=3,所以
,
,
,
.
(Ⅱ);
因?yàn)?x +h=3,
所以 .
(21)本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法,橢圓的方程和性質(zhì),利用方程判定曲線的性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力,滿分12分.
解:根據(jù)題設(shè)條件,首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn),使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.
∵ i=(1,0),c=(0,a),
∴ c+li=(l,a),i-2lc=(1,-2la).
因此,直線OP和AP的方程為
ly=ax 和 y-a=-2lax.
消去參數(shù)l,得點(diǎn)P(x,y)的坐標(biāo)滿足方程y(y-a)=-2a2x2,
整理得 . ①
因?yàn)?i>a>0,所以得:
(?)當(dāng)時(shí),方程①是圓方程,故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;
(?)當(dāng)時(shí),方程①表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn):
(?)當(dāng)時(shí),方程①也表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).
(22)本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念,考查數(shù)學(xué)歸納法,考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,滿分14分.
(Ⅰ)證法一:(?)當(dāng)n=1時(shí),由已知a1=1-2a0,等式成立;
(?)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)等式成立,即
,
那么
,
也就是說(shuō),當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.
根據(jù)(?)和(?),可知等式對(duì)任何n∈N+成立.
證法二:如果設(shè)an-a3n=-2(an-1-a3n-1),
用代入,可解出.
所以是公比為-2,首項(xiàng)為的等比數(shù)列.
∴ (n∈N+),
即 .
(Ⅱ)解法一:由an通項(xiàng)公式
,
∴ an>an-1(n∈N+)等價(jià)于
(n∈N+). ①
(?)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,…時(shí),①式即為
,
即為 . ②
②式對(duì)k=1,2,…都成立,有
.
(?)當(dāng)n=2k,k=1,2,…時(shí),①式即為
,
即為 .
③式對(duì)k=1,2,…都成立,有
. ②
綜上,①式對(duì)任意n∈N+成立,有.
故a0的取值范圍為(0,).
解法二:如果an>an-1(n∈N+)成立,特別取n=1,2有
a1-a0=1-3a0>0,
a2-a1=6a0>0,
因此 .
下面證明當(dāng)時(shí),對(duì)任意n∈N+,有an-an-1>0.
由an通項(xiàng)公式
.
(?)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,…時(shí),
=0.
(?)當(dāng)n=2k,k=1,2,…時(shí),
≥0.
故a0的取值范圍為(0,).
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