A3對B3 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

對于各項均為整數(shù)的數(shù)列{an},如果滿足ai+i(i=1,2,3,…)為完全平方數(shù),則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”;
不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”,如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn},且{bn}同時滿足下面兩個條件:①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一個排列;②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”,則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”.
(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=
n3
(n2-1)
,證明數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”;
(Ⅱ)試判斷數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列1,2,3,…,11是否具有“變換P性質(zhì)”,具有此性質(zhì)的數(shù)列請寫出相應(yīng)的數(shù)列{bn},不具此性質(zhì)的說明理由;
(Ⅲ)對于有限項數(shù)列A:1,2,3,…,n,某人已經(jīng)驗證當n∈[12,m2](m≥5)時,數(shù)列A具有“變換P性質(zhì)”,試證明:當n∈[m2+1,(m+1)2]時,數(shù)列A也具有“變換P性質(zhì)”.

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對a,b>0,a≠b,已知下列不等式成立:
①2ab<a2+b2;
②ab2+a2b<a3+b3
③ab3+a3b<a4+b4
④ab4+a4b<a5+b5;
(Ⅰ)用類比的方法寫出
a5b+ab5<a6+b6(或a4b2+a2b4<a6+b6或2a3b3<a6+b6
a5b+ab5<a6+b6(或a4b2+a2b4<a6+b6或2a3b3<a6+b6
<a6+b6
(Ⅱ)若a,b>0,a≠b,證明:a2b3+a3b2<a5+b5
(Ⅲ)將上述不等式推廣到一般的情形,請寫出你所得結(jié)論的數(shù)學表達式(不證明)

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對于各項均為整數(shù)的數(shù)列{an},如果ai+i(i=1,2,3,…)為完全平方數(shù),則稱數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”.不論數(shù)列{an}是否具有“P性質(zhì)”,如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn},且{bn}同時滿足下面兩個條件:
①b1,b2,b3,…,bn是a1,a2,a3,…,an的一個排列;
②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”,則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”.
下面三個數(shù)列:
①數(shù)列{an}的前n項和Sn=
n3
(n2-1)
;
②數(shù)列1,2,3,4,5;
③1,2,3,…,11.
具有“P性質(zhì)”的為
;具有“變換P性質(zhì)”的為

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對于數(shù)列A:a1,a2,a3(ai∈N,i=1,2,3),定義“T變換”:T將數(shù)列A變換成數(shù)列B:b1,b2,b3,其中bi=|ai-ai+1|(i=1,2),且b3=|a3-a1|.這種“T變換”記作B=T(A),繼續(xù)對數(shù)列B進行“T變換”,得到數(shù)列C:cl,c2,c3,依此類推,當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束.
(Ⅰ)寫出數(shù)列A:2,6,4經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列;
(Ⅱ)若a1,a2,a3不全相等,判斷數(shù)列A:a1,a2,a3經(jīng)過不斷的“T變換”是否會結(jié)束,并說明理由;
(Ⅲ)設(shè)數(shù)列A:400,2,403經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項之和最小,求k的最小值.

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對于任意的實數(shù)a,b,定義一種運算a*b=a3-a2b+ab2+b3,試設(shè)計一個程序,能夠驗證該運算是否滿足交換律.

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一、選擇題:本題考查基本知識和基本運算,每小題5分,滿分60分.

(1)B      (2)D     (3)D      (4)B      (5)B       (6)C

(7)B      (8)C     (9)D      (10)C     (11)B      (12)A

二、填空題:本題考查基本知識和基本運算,每小題4分,滿分16分.

(13)      (14)6,30,10    (15)120      (16)①④⑤

三、解答題:

(17)本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)和恒等變換的基本技能,考查畫圖的技能,滿分12分.

解(I)

 

     

         所以函數(shù)的最小正周期為π,最大值為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

*

1

1

1

故函數(shù)在區(qū)間上的圖象是

 

 

 

 

 

 

 

(18)本小題主要考查線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想像能力和推理運算能力,滿分12分.

解法一:(Ⅰ)連結(jié)BG,則BGBE在面ABD的射影,即∠EBGA1B與平面ABD所成的角.

設(shè)FAB中點,連結(jié)EF、FC,

DE分別是CC1、A1B的中點,又DC⊥平面ABC

CDEF為矩形.

連結(jié)DFG是△ADB的重心,

GDF

在直角三角形EFD中,

,

EF=1,∴   ……4分

于是

 ∴

A1B與平面ABC所成的角是

(Ⅱ)連結(jié)A1D,有

EDABEDEF,又EFABF,

ED⊥平面A1AB

設(shè)A1到平面AED的距離為h

則  

又    

∴ 

A1到平面AED的距離為

解法二: (Ⅰ)連結(jié)BG,則BGBE在面ABD的射影,即∠A1BGA1B與平面ABD所成的角.

如圖所示建立坐標系,坐標原點為O,設(shè)CA=2a,則 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),

,解得 a=1.

A1B與平面ABD所成角是

(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).

,

,

ED⊥平面AA1E,又EDÌ平面AED

∴ 平面AED⊥平面AA1E,又面AEDAA1EAE

∴ 點A1在平面AED的射影KAE上.

設(shè) ,

,即l+l+l-2=0,

解得

A1到平面AED的距離為

(19)本小題主要考查導數(shù)的概念和計算,應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力.滿分12分.

解:

a>0,x>0時

f ¢(x)>0Ûx2+(2a-4)x+a2>0,

f ¢(x)<0Ûx2+(2a-4)x+a2<0.

(?)當a > 1時,對所有x > 0,有

x2+(2a-4)x+a2>0,

f ¢(x)>0,此時f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

(?)當a=1時,對x≠1,有

x2+(2a-4)x+a2>0,

f ¢(x)>0,此時f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

又知函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù),因此,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

(?)當0<a<1時,令f ¢(x)>0,即

x2+(2a-4)x+a2>0,

解得,或

因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增.

f ¢(x)<0,即x2+(2a-4)x+a2 < 0,

解得

因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

 

(20)本小題考查離散型隨機變量分布列和數(shù)學期望等概念,考查運用概率知識解決實際問題的能力,滿分12分.

解:(Ⅰ)x,h的可能取值分別為3,2,1,0.

,

,

根據(jù)題意知x+h=3,所以

,

,

(Ⅱ);

因為 x +h=3,

所以

 

(21)本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法,橢圓的方程和性質(zhì),利用方程判定曲線的性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力,滿分12分.

解:根據(jù)題設(shè)條件,首先求出點P坐標滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點,使得點P到兩定點距離的和為定值.

i=(1,0),c=(0,a),

c+li=(l,a),i-2lc=(1,-2la).

因此,直線OPAP的方程為

ly=axya=-2lax

消去參數(shù)l,得點P(x,y)的坐標滿足方程y(ya)=­-2a2x2

整理得  .      ①

因為a>0,所以得:

(?)當時,方程①是圓方程,故不存在合乎題意的定點EF;

(?)當時,方程①表示橢圓,焦點為合乎題意的兩個定點:

(?)當時,方程①也表示橢圓,焦點為合乎題意的兩個定點.

 

(22)本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列的概念,考查數(shù)學歸納法,考查靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力,滿分14分.

(Ⅰ)證法一:(?)當n=1時,由已知a1=1-2a0,等式成立;

(?)假設(shè)當nkk≥1)等式成立,即

,

那么

,

也就是說,當nk+1時,等式也成立.

根據(jù)(?)和(?),可知等式對任何nN+成立.

證法二:如果設(shè)ana3n=-2(an-1a3n-1),

代入,可解出

所以是公比為-2,首項為的等比數(shù)列.

nN+),

(Ⅱ)解法一:由an通項公式

an>an-1nN+)等價于

nN+).      ①

(?)當n=2k-1,k=1,2,…時,①式即為

即為 .               ②

②式對k=1,2,…都成立,有

(?)當n=2kk=1,2,…時,①式即為

,

即為

③式對k=1,2,…都成立,有

.      ②

綜上,①式對任意nN+成立,有

a0的取值范圍為(0,).

解法二:如果an>an-1nN+)成立,特別取n=1,2有

a1a0=1-3a0>0,

a2a1=6a0>0,

因此 

下面證明當時,對任意nN+,有anan-1>0.

an通項公式

(?)當n=2k-1,k=1,2,…時,

=0.

(?)當n=2k,k=1,2,…時,

≥0.

a0的取值范圍為(0,).


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