⑴求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式, ⑵證明:, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
nn+a
(n，a∈N*)．
（1）若a1，a3，a15成等比數(shù)列，求a的值；
（2）是否存在k（k≥3且k∈N），使得a1，a2，ak成等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；
（3）求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)an總可以表示成數(shù)列中其它兩項(xiàng)之積．

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已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-1，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，令集合A={a1，a2，…，an，…}，B={b1，b2，…，bn，…}，n∈N*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{cn}．
（I）若cn=n，n∈N*，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）若A∩B=Φ，且數(shù)列{cn}的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，c1=1，c9=8．
（i）求滿足
cn+1
cn
＞
5
4
的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)；
（ii）證明：存在無窮多組正整數(shù)對(duì)（m，n）使得不等式0＜|cn+1+cm-cn-cm+1|＜
1
100
成立．

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已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=2n-1，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，令集合A={a1，a2，…，an，…}，B={b1，b2，…，bn，…}，n∈N*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{cn}．
（I）若cn=n，n∈N*，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）若A∩B=Φ，且數(shù)列{cn}的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，c1=1，c9=8．
（i）求滿足數(shù)學(xué)公式的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)；
（ii）證明：存在無窮多組正整數(shù)對(duì)（m，n）使得不等式數(shù)學(xué)公式成立．

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已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為數(shù)學(xué)公式．
（1）若a1，a3，a15成等比數(shù)列，求a的值；
（2）是否存在k（k≥3且k∈N），使得a1，a2，ak成等差數(shù)列，若存在，求出常數(shù)a的值；若不存在，請說明理由；
（3）求證：數(shù)列中的任意一項(xiàng)an總可以表示成數(shù)列中其它兩項(xiàng)之積．

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已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=+2．

    (Ⅰ)證明：ak+a24-k(k∈N*，k＜24)是常數(shù)；

    (Ⅱ)求數(shù)列{an}的前24項(xiàng)的和．

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一、選擇題

1．B　　2．A　　3．C　　4．B　　5．B　　6．D　　7．C　　8．C　　9．D　　10．A

二、填空題

11．　　12．　　13．－6　　14．；　　15．①②③④

三、解答題

16．解：⑴＝＝＝

＝                                                                                                                  3分

＝＝1＋1＋2cos2x＝2＋2cos2x＝4cos2x

∵x∈[0，]　　∴cosx≥0

∴＝2cosx                                                                                                     6分

⑵ f (x)＝cos2x－?2cosx?sinx＝cos2x－sin2x

      ＝2cos(2x＋)                                                                                            8分

∵0≤x≤　　∴  ∴　　∴

∴，當(dāng)x＝時(shí)取得該最小值

　，當(dāng)x＝0時(shí)取得該最大值                                                                    12分

17．由題意知，在甲盒中放一球概率為時(shí)，在乙盒放一球的概率為                  2分

①當(dāng)n＝3時(shí)，x＝3，y＝0的概率為                                                 4分

②當(dāng)n＝4時(shí)，x＋y＝4，又|x－y|＝ξ，所以ξ的可能取值為0，2，4

(i)當(dāng)ξ＝0時(shí)，有x＝2，y＝2，它的概率為                                      4分

(ii)當(dāng)ξ＝2時(shí)，有x＝3，y＝1或x＝1，y＝3

   它的概率為

(iii)當(dāng)ξ＝4時(shí)，有x＝4，y＝0或x＝0，y＝4

   它的概率為

故ξ的分布列為

ξ

0

2

4

10分

p

∴ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ＝                                                             12分

18．解：⑴證明：在正方形ABCD中，AB⊥BC

又∵PB⊥BC  ∴BC⊥面PAB  ∴BC⊥PA

同理CD⊥PA  ∴PA⊥面ABCD　　　　4分

⑵在AD上取一點(diǎn)O使AO=AD，連接E，O，

則EO∥PA，∴EO⊥面ABCD　過點(diǎn)O做

OH⊥AC交AC于H點(diǎn)，連接EH，則EH⊥AC，

從而∠EHO為二面角E－AC－D的平面角                                                             6分

在△PAD中，EO＝AP＝在△AHO中∠HAO＝45°，

∴HO＝AOsin45°=，∴tan∠EHO＝，

∴二面角E－AC－D等于arctan                                                                    8分

⑶當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，PF∥面EAC，理由如下：

∵AD∥2FC，∴，又由已知有，∴PF∥ES

∵PF面EAC，EC面EAC　　∴PF∥面EAC，

即當(dāng)F為BC中點(diǎn)時(shí)，PF∥面EAC                                                                         12分

19．⑴據(jù)題意，得                                                4分

                                                                          5分

⑵由⑴得：當(dāng)5＜x＜7時(shí)，y＝39(2x3－39x2＋252x－535)

當(dāng)5＜x＜6時(shí)，y'＞0，y＝f (x)為增函數(shù)

當(dāng)6＜x＜7時(shí)，y'＜0，y＝f (x)為減函數(shù)

∴當(dāng)x＝6時(shí)，f (x)極大值＝f (16)＝195                                                                      8分

當(dāng)7≤x＜8時(shí)，y＝6(33－x)∈(150，156]

當(dāng)x≥8時(shí)，y＝－10(x－9)2＋160

當(dāng)x＝9時(shí)，y極大＝160                                                                                           10分

綜上知：當(dāng)x＝6時(shí)，總利潤最大，最大值為195                                                     12分

20．⑴設(shè)M(x0，y0)，則N(x0，－y0)，P(x，y)

    • <small id="w316i"><tbody id="w316i"></tbody></small>
    <small id="w316i"><mark id="w316i"><cite id="w316i"></cite></mark></small>
    
   
    
    
    
    
    
    (x0≠－1且x0≠3)
    BN：y＝　　　②
    聯(lián)立①②　　∴                                                                                        4分
    ∵點(diǎn)M(xo，yo)在圓⊙O上，代入圓的方程：
    整理：y2＝－2(x＋1)  (x＜－1)                                                                             6分
    ⑵由
    設(shè)S(x1、y1)，T(x2、y2)，ST的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0、y0)
    則x1＋x2＝－(3＋)
    x1x2＝                                                                                                           8分
    ∴
    中點(diǎn)到直線的距離
    ∴
    故圓與x＝－總相切．                                                                                         13分
    ⑵另解：∵y2＝－2(x＋1)知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－，0)                                                   2分
    頂點(diǎn)(－1，0)，故準(zhǔn)線x＝－                                                                               4分
    設(shè)S、T到準(zhǔn)線的距離為d1，d2，ST的中點(diǎn)O'，O'到x＝－的距離為
    又由拋物線定義：d1＋d2＝|ST|，∴
    故以ST為直徑的圓與x＝－總相切                                                                      8分
    21．解：⑴由，得
    令，有
    ∴
        ＝
        ＝
    又b1＝2a1＝2，                                                                               3分
    ∴
    ∴                                                                                    4分
    ⑵證法1：(數(shù)學(xué)歸納法)
    1°，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，滿足不等式                                                    5分
    2°，假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立
    即，那么
    即                                                                                                       7分
    又
    由1°，2°可知，n∈N*，都有成立                                                           9分
    ⑵證法2：由⑴知：　　　　　　　　　　　　　　　　(可參照給分)
    ∵，，∴
    ∵  ∵
    ∴  ∴
    當(dāng)n＝1時(shí)，，綜上
    ⑵證法3：
    ∴{an}為遞減數(shù)列
    當(dāng)n＝1時(shí)，an取最大值　　∴an≤1
    由⑴中知　　
    綜上可知
    ⑶
    欲證：即證                                                                             11分
    即ln(1＋Tn)－Tn＜0，構(gòu)造函數(shù)f (x)＝ln(1＋x)－x
    ∵當(dāng)x＞0時(shí)，f ' (x)＜0
    ∴函數(shù)y＝f (x)在(0，＋∞)內(nèi)遞減
    ∴f (x)在[0，＋∞)內(nèi)的最大值為f (0)＝0
    ∴當(dāng)x≥0時(shí)，ln(1＋x)－x≤0
    又∵Tn＞0，∴l(xiāng)n(1＋Tn)－Tn＜0
    ∴不等式成立                                                                                           14分
     
    		
    
	
	
    
		
    


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