題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
。
（1）證明：
（2）若數(shù)列
的通項公式為
，求數(shù)列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設(shè)數(shù)列
滿足：
，設(shè)
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數(shù)
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當(dāng)點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當(dāng)
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)
（1）求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)
時，不等式
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區(qū)間
上恰好有兩個相異的實根，求實數(shù)
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數(shù)，
（1）討論
時, 
的單調(diào)性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數(shù)
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設(shè)數(shù)列
的前
項和為
，對任意的正整數(shù)，都有
成立，記
。
（I）求數(shù)列
的通項公式；
（II）記
，設(shè)數(shù)列
的前項和為
，求證：對任意正整數(shù)都有
；
（III）設(shè)數(shù)列的前項和為
。已知正實數(shù)
滿足：對任意正整數(shù)
恒成立，求的最小值。
一、選擇題：本答題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把它選出來填涂在答題卡上。
1．A
2．D 對“若
則
”的否定已經(jīng)不是“四種命題”中的任何一種，而是表示“合取”命題；且非，即反設(shè)命題的結(jié)論不成立為非，選D。
3．B 因為
，所以，當(dāng)
時，分母
最小，從而
最大為2，選B。
4．C
5．B 設(shè)等差數(shù)列
的前三項為
（其中
），則
于是它的首項是2，選B
6．D 因為
的反函數(shù)的圖像經(jīng)過點
，所以函數(shù)的圖像經(jīng)過點
，于是
，解得
，選D
7．D 在直角坐標(biāo)系中較準(zhǔn)確地作出點A、B、C，并結(jié)合代值驗證，可知A、C兩點的坐標(biāo)不滿足選擇支D的解析式，選D。
8．C 因為
是定義在R上的奇函數(shù)，所以
，又
，故函數(shù)的周期為4，所以
，選C
9．A 函數(shù)的定義域為（0，+
），當(dāng)
≥1時，
≥0，有
；當(dāng)
時，
，有
，選A。
10．B 根據(jù)圖像可知，當(dāng)
時，函數(shù)圖像從左到右是上升的，表明對數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，∴a、b均大于1，排除C、D。于是取＝2，得
，有
，選B.
11．A
12．C 設(shè)
，則B
,有
，∴
。由于A、B兩點在函數(shù)
的圖象上，則
＝1，∴
，而點A又在函數(shù)
的圖像上，∴
，得
，有
，于是
，選C。
13．
14．原式＝
15．由圖知車速小于
16．（1）當(dāng)
時，
（2）當(dāng)
時，
（3）當(dāng)
時，
所以，在區(qū)間
上，當(dāng)
時函數(shù)
取得最小值
三、解答題：本答題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟。
17．（本題滿分12分）
解法一 原不等式等價于
或
………………12分
解法二 原不等式等價于
或
或
說明 本題是教材第一冊上
頁習(xí)題1.5第5題：解不等式
的改變，這是關(guān)于的二次雙連不等式，若轉(zhuǎn)化為兩個二次不等式組成的不等式組來解時，只要善于正確因式分解，數(shù)軸標(biāo)根，也能快速解決。
18．∵
，∴是奇函數(shù)。
∵
，當(dāng)
時，
是減函數(shù)，
∴在（-1，1）內(nèi)是減函數(shù).
…………8分
.
故編號為①③的結(jié)論正確,編號為②的結(jié)論不正確 ……12分
事實上，還有∵
，∴
。
本題是教材85頁4題、99頁例3、101頁6、7題102頁1題的綜合與改編。
19．（本題滿分12分）
設(shè)表示每臺的利潤，y表示周銷售量，則
經(jīng)過了點（20，0），（0，35），
∴
解得
………………4分
即
或
，其中
因此，商店一周中所獲利潤總額為：
每臺利潤×銷售量＝
＝
………8分
由于y是正整數(shù)，所以當(dāng)周銷售量為y＝17或18時，利潤總額最大，為
元，此時
元或10.3元。
………………12分
20．甲種水稻的平均畝產(chǎn)量為甲＝
乙種水稻的平均畝產(chǎn)量為乙＝
表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相等。 ……………6分
其方差為
＝
＝
即有
>，這說明乙種水稻其畝產(chǎn)量較為穩(wěn)定……12分
21．（本題滿分12分）
（1）延長FE與AB交于點P，則
∵EP//BC，∴
∽
，
∴
，即
，∴
，
…………2分
在直角三角形AEP中，
，
，
，
由勾股定理，得
（*）
即
。
………………6分
∵
∴（*）式成立的充要條件是
，
所以y與x的函數(shù)關(guān)系式為
， ……8分
（2）因為
，等號當(dāng)且僅當(dāng)
，即
時取得，
………10分
所以正方形
的面積
當(dāng)
時取得最大值
………12分
若由
得
,
所以
即
，
等式右端分子有理化，得
∴
∵
∴
，
整理，得與的函數(shù)關(guān)系式為
（
）
22．
。
………………2分
若
，則
，知單調(diào)遞減，而
，∴
若
，令
，則
。
∵，則只需考慮
的情況：
（1）當(dāng)
，即
時，
若
時，
，則
若
時，
，則
∴
極大值＝
。
…9分
（2）當(dāng)
即
時，∵，∴，
故，知是增函數(shù)，∴
……12分
綜上所述，當(dāng)
時，的最大值為0；當(dāng)，時，的最大值為
；當(dāng)
時，的最大值為
……14分
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