（2012•上海）已知雙曲線C₁：x2-

y2

4

=1．
（1）求與雙曲線C₁有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（4，

3

）的雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C₁的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn)．當(dāng)

OA

•

OB

=3時(shí)，求實(shí)數(shù)m的值．

求下列各曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12，離心率為

2

3

，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
（2）雙曲線 c₁：9x²-16y²=576，雙曲線c₂與c₁有共同的漸近線若c₂過(guò)點(diǎn)（1，2）求c₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2013•安慶三模）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

12

=1和雙曲線C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的離心率互為倒數(shù)，它們?cè)诘谝幌笙藿稽c(diǎn)的坐標(biāo)為（

4 10

5

，

6 5

5

），設(shè)直線l：y=kx+m（其中k，m為整數(shù)）．
（1）試求橢圓C₁和雙曲線C₂ 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與橢圓C₁交于不同兩點(diǎn)A、B，與雙曲線C₂交于不同兩點(diǎn)C、D，問(wèn)是否存在直線l，使得向量

AC

+

BD

=

0

，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖，雙曲線C₁：

x2

4

-

y2

b2

=1與橢圓C₂：

x2

4

+

y2

b2

=1（0＜b＜2）的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在雙曲線C₁上，線段OP與橢圓C₂交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）求證：

kAA1+kAA2

kPA1+kPA2

為定值（其中kAA1表示直線AA₁的斜率，kAA2等意義類似）；
（II）證明：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）設(shè)滿足{（x，y）|

x2

4

-

y2

m2

=1，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|

x2

4

-

y2

3

＞1，x∈R，y∈R} 的正數(shù)m的最大值是b，求b的值．

（2013•東城區(qū)一模）已知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）分別是雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，雙曲線C₁和圓C₂：x²+y²=c²的一個(gè)交點(diǎn)為P，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，那么雙曲線C₁的離心率為（　�。�