題目列表(包括答案和解析)
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
PM |
MF2 |
MF2 |
已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點為圓心作圓:,設(shè)圓與曲線交于點與點,求的最小值,并求此時圓的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線的垂線,垂足為D.
代入坐標(biāo)得到
第二問當(dāng)斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當(dāng)直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱,設(shè),, 不妨設(shè).
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當(dāng)時,取得最小值為.
計算得,,故,又點在圓上,代入圓的方程得到.
故圓T的方程為:
設(shè)橢圓 :()的一個頂點為,,分別是橢圓的左、右焦點,離心率 ,過橢圓右焦點 的直線 與橢圓 交于 , 兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在直線 ,使得 ,若存在,求出直線 的方程;若不存在,說明理由;
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解,以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。(1)中橢圓的頂點為,即又因為,得到,然后求解得到橢圓方程(2)中,對直線分為兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時,當(dāng)直線斜率不存在時,聯(lián)立方程組,結(jié)合得到結(jié)論。
解:(1)橢圓的頂點為,即
,解得, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分
(2)由題可知,直線與橢圓必相交.
①當(dāng)直線斜率不存在時,經(jīng)檢驗不合題意. --------5分
②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)存在直線為,且,.
由得, ----------7分
,,
=
所以, ----------10分
故直線的方程為或
即或
已知m>1,直線,橢圓C:,、分別為橢圓C的左、右焦點.
(Ⅰ)當(dāng)直線過右焦點時,求直線的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點,△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)m的取值范圍.[
【解析】第一問中因為直線經(jīng)過點(,0),所以=,得.又因為m>1,所以,故直線的方程為
第二問中設(shè),由,消去x,得,
則由,知<8,且有
由題意知O為的中點.由可知從而,設(shè)M是GH的中點,則M().
由題意可知,2|MO|<|GH|,得到范圍
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