如圖，已知橢圓Γ：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是橢圓外的一個動點，滿足|F₁Q|=2a．點P是線段F₁Q與該橢圓的交點，點M在線段F₂Q上，且滿足•=0，||≠0．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)不過原點O的直線l與軌跡C交于A，B兩點，若直線OA，AB，OB的斜率依次成等比數(shù)列，求△OAB面積的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）求解的結(jié)果，試對橢圓Γ寫出類似的命題．（只需寫出類似的命題，不必說明理由）

已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù)．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分，求弦AB所在的直線方程；

（3）以曲線的左頂點為圓心作圓：，設(shè)圓與曲線交于點與點，求的最小值，并求此時圓的方程.

【解析】第一問利用（1）過點作直線的垂線，垂足為D.

代入坐標(biāo)得到

第二問當(dāng)斜率k不存在時，檢驗得不符合要求；

當(dāng)直線l的斜率為k時，；，化簡得

第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱，設(shè)，， 不妨設(shè)．

由于點M在橢圓C上，所以．

由已知，則

，

由于，故當(dāng)時，取得最小值為．

計算得，，故，又點在圓上，代入圓的方程得到．  

故圓T的方程為：

 

設(shè)橢圓 ：（）的一個頂點為，，分別是橢圓的左、右焦點，離心率 ，過橢圓右焦點 的直線  與橢圓 交于 ， 兩點．

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在直線 ，使得 ，若存在，求出直線  的方程；若不存在，說明理由；

【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解，以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運用。（1）中橢圓的頂點為，即又因為，得到，然后求解得到橢圓方程（2）中，對直線分為兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時，當(dāng)直線斜率不存在時，聯(lián)立方程組，結(jié)合得到結(jié)論。

解：（1）橢圓的頂點為，即

，解得， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 --------4分

（2）由題可知,直線與橢圓必相交.

①當(dāng)直線斜率不存在時，經(jīng)檢驗不合題意．                    --------5分

②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)存在直線為，且，.

由得，       ----------7分

，，               

   = 

所以，                               ----------10分

故直線的方程為或 

即或

 

已知m>1，直線，橢圓C：，、分別為橢圓C的左、右焦點.

（Ⅰ）當(dāng)直線過右焦點時，求直線的方程;

（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點，△A、△B的重心分別為G、H.若原點O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍.[

【解析】第一問中因為直線經(jīng)過點（，0），所以＝，得.又因為m>1，所以，故直線的方程為

第二問中設(shè)，由，消去x，得，

則由，知<8,且有

由題意知O為的中點.由可知從而，設(shè)M是GH的中點，則M（）.

由題意可知，2|MO|<|GH|,得到范圍