于是從而時得證因此(*)式得證 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若對一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),記直線AB的斜率為k,證明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增,故當(dāng)時,取最小值

于是對一切恒成立,當(dāng)且僅當(dāng).        ①

當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞減.

故當(dāng)時,取最大值.因此,當(dāng)且僅當(dāng)時,①式成立.

綜上所述,的取值集合為.

(Ⅱ)由題意知,

,則.當(dāng)時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,單調(diào)遞增.故當(dāng),

從而,

所以因為函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線,所以存在使成立.

【點評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等,考查運算能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對一切x∈R,f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為從而得出求a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進行推理,然后把問題歸結(jié)為一個方程是否存在解的問題,通過構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的性質(zhì)進行分析判斷.

 

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設(shè)點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().

(1) 當(dāng)時,試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標(biāo),從而使得

;

(2)當(dāng)時,若,

求證:

(3) 當(dāng)時,某同學(xué)對(2)的逆命題,即:

“若,則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);

② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時,拋物線的焦點為,

設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;;

解:(1)拋物線的焦點為,設(shè),

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為,所以,

故可取滿足條件.

(2)設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

;

所以.

(3) ①取時,拋物線的焦點為,

設(shè),分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得

,

,不妨取;;

,

.

,,是一個當(dāng)時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè),分別過

拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,

及拋物線的定義得

,即.

因為上述表達式與點的縱坐標(biāo)無關(guān),所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標(biāo)都大于零,則

,

,所以.

(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)

③ 補充條件1:“點的縱坐標(biāo))滿足 ”,即:

“當(dāng)時,若,且點的縱坐標(biāo))滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,由,

及拋物線的定義得,即,則

,

又由,所以,故命題為真.

補充條件2:“點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:

“當(dāng)時,若,且點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)

 

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