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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB = 90°. AC = BC = a,

    D、E分別為棱AB、BC的中點(diǎn), M為棱AA1­上的點(diǎn),二面角MDEA為30°.

   (1)求MA的長(zhǎng);w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

   (2)求點(diǎn)C到平面MDE的距離。

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(本小題滿分12分)某校高2010級(jí)數(shù)學(xué)培優(yōu)學(xué)習(xí)小組有男生3人女生2人,這5人站成一排留影。

(1)求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m      

(2)求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?

(3)求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?

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(本小題滿分12分)

某廠有一面舊墻長(zhǎng)14米,現(xiàn)在準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費(fèi)用為a元;②修1米舊墻的費(fèi)用為元;③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費(fèi)用為元,經(jīng)過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形廠房一面的邊長(zhǎng);(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長(zhǎng)x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時(shí),建墻費(fèi)用最省?(1)、(2)兩種方案哪個(gè)更好?

 

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(本小題滿分12分)

已知a,b是正常數(shù), ab, xy(0,+∞).

   (1)求證:,并指出等號(hào)成立的條件;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m           

   (2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)的最小值,并指出取最小值時(shí)相應(yīng)的x 的值.

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(本小題滿分12分)

已知a=(1,2), b=(-2,1),xab,y=-kab (kR).

   (1)若t=1,且xy,求k的值;

   (2)若tR x?y=5,求證k≥1.

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1.解析:,故選A。

2.解析:∵

,

故選B。

3.解析:由,得,此時(shí),所以,,故選C。

4.解析:顯然,若共線,則共線;若共線,則,即,得,∴共線,∴共線是共線的充要條件,故選C。

5.解析:設(shè)公差為,由題意得,,解得,故選C。

6.解析:∵雙曲線的右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的,∴,又∵,∴,∴,∴雙曲線的離心率是。故選B.

7.解析:∵為正實(shí)數(shù),∴,∴;由均值不等式得恒成立,,故②不恒成立,又因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù),∴,故恒成立的不等式是①③④。故選C.

8.解析:∵,∴在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,∴,故選D。

9.解析:∵

,此函數(shù)的最小值為,故選C。

10.解析:如圖,∵正三角形的邊長(zhǎng)為,∴,∴,又∵,∴,故選D。

11.解析:∵在區(qū)間上是增函數(shù)且,∴其反函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),∴,故選A

12.解析:如圖,①當(dāng)時(shí),圓面被分成2塊,涂色方法有20種;②當(dāng)時(shí),圓面被分成3塊,涂色方法有60種;

③當(dāng)時(shí),圓面被分成4塊,涂色方法有120種,所以m的取值范圍是,故選A。

13.解析:做出表示的平面區(qū)域如圖,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值5。

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)14.解析:∵,∴時(shí),,又時(shí),滿足上式,因此,

。

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)15.解析:設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為,連,取的中點(diǎn),連,∵的中點(diǎn),∴,∴或其補(bǔ)角為所成角,∵,∴,∴,又∵,∴,∴所成角的余弦值為

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)16.解析:∵,∴,∵點(diǎn)的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn),由向量的加法法則及拋物線的對(duì)稱性可知,點(diǎn)為拋物線上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)且做出圖形如右圖,其中為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,四邊形為菱形,∴,∴,∴,∴,∴,∴向量的夾角為

17.(10分)解析:(Ⅰ)由正弦定理得,,…2分

,,………4分

(Ⅱ)∵,∴,∴,………………………6分

又∵,∴,∴,………………………8分

!10分

18.解析:(Ⅰ)∵,∴;……………………理3文4分

(Ⅱ)∵三科會(huì)考不合格的概率均為,∴學(xué)生甲不能拿到高中畢業(yè)證的概率;……………………理6文8分

(Ⅲ)∵每科得A,B的概率分別為,∴學(xué)生甲被評(píng)為三好學(xué)生的概率為!12分

(理)∵,!9分

的分布列如下表:

0

1

2

3

的數(shù)學(xué)期望。……………………12分

19.(12分)解析:(Ⅰ)時(shí),

,,

    

得,   ………3分

 

 

+

0

0

+

遞增

極大值

遞減

極小值

遞增

,      ………………………6分

(Ⅱ)在定義域上是增函數(shù),

對(duì)恒成立,即 

   ………………………9分

(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),

               

 ………………………4分

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com)              

20.解析:(Ⅰ)∵,∴,∵底面,∴,∴平面,∴,又∵平面,∴,∴平面,∴。………………………4分

(Ⅱ)∵平面,∴,,∴為二面角的平面角,………………………6分

,,∴,又∵平面,,∴,∴二面角的正切值的大小為!8分

(Ⅲ)過點(diǎn),交于點(diǎn),∵平面,∴在平面內(nèi)的射影,∴與平面所成的角,………………………10分

學(xué)科網(wǎng)(Zxxk.Com),∴,又∵,∴與平面所成的角相等,∴與平面所成角的正切值為。………………………12分

解法2:如圖建立空間直角坐標(biāo)系,(Ⅰ)∵,,∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別是,,,∴,設(shè),∵平面,∴,∴,取,∴,∴!4分

(Ⅱ)設(shè)二面角的大小為,∵平面的法向量是,平面的法向量是,∴,∴,∴二面角的正切值的大小為。………………………8分

(Ⅲ)設(shè)與平面所成角的大小為,∵平面的法向量是,,∴,∴,∴與平面所成角的正切值為!12分

21.(Ⅰ) 解析:如圖,設(shè)右準(zhǔn)線軸的交點(diǎn)為,過點(diǎn)分別向軸及右準(zhǔn)線引垂線,∵,∴,又∵,∴,………………………2分

,又∵,∴,又∵,解得,∴,∴雙曲線的方程為。………………………4分

(Ⅱ)聯(lián)立方程組   消得:

由直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得:

  于是 ,且    ………………①………………………6分

設(shè)、,則

……………………9分

,所以,解得      ……………②   

由①和②得    即

的取值范圍為!12分

22.(12分)解析:(Ⅰ)∵,∴,∴,∴數(shù)列是等差數(shù)列,………………………2分

又∵,,∴公差為2,

,………………………4分

(Ⅱ)∵,∴,

∴數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,

,∴,………………………6分

(Ⅲ)∵,

………………………8分

………………………10分

,∴,又∵,∴………………………12分

 

 


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