（選修4-2：矩陣與變換）在軍事密碼學(xué)中，發(fā)送密碼時(shí)，先將英文字母數(shù)學(xué)化，對(duì)應(yīng)如下表：

a	b	c	d	…	z
1	2	3	4	…	26

如果已發(fā)現(xiàn)發(fā)送方傳出的密碼矩陣為

14 41 32 101

，雙方約定可逆矩陣為

1 2 3 4

，試破解發(fā)送的密碼．

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ₁=2，λ₂=-1，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為e1=

1 0

和e2=

0 1

．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線x²+y²=1在矩陣A的變換下得到的新曲線方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C₁的參數(shù)方程為

x=2sinθ y=cosθ

(θ為參數(shù)），C₂的參數(shù)方程為

x=2t y=t+1

(t為參數(shù)）
（I）若將曲線C₁與C₂上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線C′₁和C′₂，求出曲線C′₁和C′₂的普通方程；
（II）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)極點(diǎn)且與C′₂垂直的直線的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=

1

f(x)+m

的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

（1）選修4-2：矩陣與變換
二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（1，-1）與（-2，1）分別變換成點(diǎn)（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）設(shè)直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圓M的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=-2+2sinθ

（其中θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求圓M上的點(diǎn)到直線的距離的最小值．
（3）選修4一5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+3|．
（Ⅰ）求x的取值范圍，使f（x）為常數(shù)函數(shù)；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）-a≤0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

選修4-2：矩陣及其變換
（1）如圖，向量

OA

和

OB

被矩陣M作用后分別變成

OA′

和

OB′

，
（Ⅰ）求矩陣M；
（Ⅱ）并求y=sin(x+

π

3

)在M作用后的函數(shù)解析式；
選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
（ 2）在直角坐標(biāo)系x0y中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系x0y取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

5

），求|PA|+|PB|．
選修4-5：不等式選講
（3）已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，且

1

x

+

1

y

+

1

z

=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值時(shí)x，y，z的值．

（2011•江蘇二模）選答題：本大題共四小題，請(qǐng)從這4題中選作2小題，如果多做，則按所做的前兩題記分．每小題10分，共20分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
A、選修4-1：
幾何證明選講．如圖，圓O的直徑AB=4，C為圓周上一點(diǎn)，BC=2，過(guò)C作圓O的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓O交于點(diǎn)D，E，求∠DAC的度數(shù)與線段AE的長(zhǎng)．
B、選修4-2：矩陣變換
求圓C：x²+y²=4在矩陣A=[

2 0 0 1

]的變換作用下的曲線方程．
C、選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
若兩條曲線的極坐標(biāo)方程分別為ρ=1與ρ=2sinθ，它們相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)．
D、選修4-5：不等式選講
已知a、b、c為正數(shù)，且滿足acos²θ+bsin²θ＜c．求證：

a

cos²θ+

b

sin²θ＜

c

．