題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),其中.
(1)若在處取得極值,求曲線在點處的切線方程;
(2)討論函數(shù)在的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)在上的最小值為2,求的取值范圍.
【解析】第一問,因在處取得極值
所以,,解得,此時,可得求曲線在點
處的切線方程為:
第二問中,易得的分母大于零,
①當(dāng)時, ,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
②當(dāng)時,由可得,由解得
第三問,當(dāng)時由(2)可知,在上處取得最小值,
當(dāng)時由(2)可知在處取得最小值,不符合題意.
綜上,函數(shù)在上的最小值為2時,求的取值范圍是
已知函數(shù)的最小值為0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若對任意的有≤成立,求實數(shù)的最小值;
(Ⅲ)證明().
【解析】(1)解: 的定義域為
由,得
當(dāng)x變化時,,的變化情況如下表:
x |
|||
- |
0 |
+ |
|
極小值 |
因此,在處取得最小值,故由題意,所以
(2)解:當(dāng)時,取,有,故時不合題意.當(dāng)時,令,即
令,得
①當(dāng)時,,在上恒成立。因此在上單調(diào)遞減.從而對于任意的,總有,即在上恒成立,故符合題意.
②當(dāng)時,,對于,,故在上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時,,即不成立.
故不合題意.
綜上,k的最小值為.
(3)證明:當(dāng)n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.
當(dāng)時,
在(2)中取,得 ,
從而
所以有
綜上,,
如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)證明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.
【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).
(1)證明:易得,于是,所以
(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,
則,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.
所以二面角A-PC-D的正弦值為.
(3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.
由,故
所以,,解得,即.
解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.
(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.
因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,
因此所以二面角的正弦值為.
(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,故
在中,由,,
可得.由余弦定理,,
所以.
已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分,求弦AB所在的直線方程;
(3)以曲線的左頂點為圓心作圓:,設(shè)圓與曲線交于點與點,求的最小值,并求此時圓的方程.
【解析】第一問利用(1)過點作直線的垂線,垂足為D.
代入坐標(biāo)得到
第二問當(dāng)斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;
當(dāng)直線l的斜率為k時,;,化簡得
第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱,設(shè),, 不妨設(shè).
由于點M在橢圓C上,所以.
由已知,則
,
由于,故當(dāng)時,取得最小值為.
計算得,,故,又點在圓上,代入圓的方程得到.
故圓T的方程為:
已知函數(shù) R).
(Ⅰ)若 ,求曲線 在點 處的的切線方程;
(Ⅱ)若 對任意 恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
第一問中,利用當(dāng)時,.
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:
第二問中,由題意得,即即可。
Ⅰ)當(dāng)時,.
,
因為切點為(), 則,
所以在點()處的曲線的切線方程為:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由題意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)
,
因為,所以恒成立,
故在上單調(diào)遞增, ……12分
要使恒成立,則,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)當(dāng)時,在上恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
即. ……10分
(2)當(dāng)時,令,對稱軸,
則在上單調(diào)遞增,又
① 當(dāng),即時,在上恒成立,
所以在單調(diào)遞增,
即,不合題意,舍去
②當(dāng)時,, 不合題意,舍去 14分
綜上所述:
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com