故所以(不符合題意.舍去) 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù),其中.

  (1)若處取得極值,求曲線在點處的切線方程;

  (2)討論函數(shù)的單調(diào)性;

  (3)若函數(shù)上的最小值為2,求的取值范圍.

【解析】第一問,處取得極值

所以,,解得,此時,可得求曲線在點

處的切線方程為:

第二問中,易得的分母大于零,

①當(dāng)時, ,函數(shù)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)時,由可得,由解得

第三問,當(dāng)時由(2)可知,上處取得最小值

當(dāng)時由(2)可知處取得最小值,不符合題意.

綜上,函數(shù)上的最小值為2時,求的取值范圍是

 

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已知函數(shù)的最小值為0,其中

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若對任意的成立,求實數(shù)的最小值;

(Ⅲ)證明).

【解析】(1)解: 的定義域為

,得

當(dāng)x變化時,的變化情況如下表:

x

-

0

+

極小值

因此,處取得最小值,故由題意,所以

(2)解:當(dāng)時,取,有,故時不合題意.當(dāng)時,令,即

,得

①當(dāng)時,上恒成立。因此上單調(diào)遞減.從而對于任意的,總有,即上恒成立,故符合題意.

②當(dāng)時,,對于,,故上單調(diào)遞增.因此當(dāng)取時,,即不成立.

不合題意.

綜上,k的最小值為.

(3)證明:當(dāng)n=1時,不等式左邊==右邊,所以不等式成立.

當(dāng)時,

                      

                      

在(2)中取,得

從而

所以有

     

     

     

     

      

綜上,,

 

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.

 

【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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已知曲線上動點到定點與定直線的距離之比為常數(shù)

(1)求曲線的軌跡方程;

(2)若過點引曲線C的弦AB恰好被點平分,求弦AB所在的直線方程;

(3)以曲線的左頂點為圓心作圓,設(shè)圓與曲線交于點與點,求的最小值,并求此時圓的方程.

【解析】第一問利用(1)過點作直線的垂線,垂足為D.

代入坐標(biāo)得到

第二問當(dāng)斜率k不存在時,檢驗得不符合要求;

當(dāng)直線l的斜率為k時,;,化簡得

第三問點N與點M關(guān)于X軸對稱,設(shè),, 不妨設(shè)

由于點M在橢圓C上,所以

由已知,則

,

由于,故當(dāng)時,取得最小值為

計算得,,故,又點在圓上,代入圓的方程得到.  

故圓T的方程為:

 

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已知函數(shù) R).

(Ⅰ)若 ,求曲線  在點  處的的切線方程;

(Ⅱ)若  對任意  恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

第一問中,利用當(dāng)時,

因為切點為(), 則,                 

所以在點()處的曲線的切線方程為:

第二問中,由題意得,即可。

Ⅰ)當(dāng)時,

,                                  

因為切點為(), 則,                  

所以在點()處的曲線的切線方程為:.    ……5分

(Ⅱ)解法一:由題意得,.      ……9分

(注:凡代入特殊值縮小范圍的均給4分)

,           

因為,所以恒成立,

上單調(diào)遞增,                            ……12分

要使恒成立,則,解得.……15分

解法二:                 ……7分

      (1)當(dāng)時,上恒成立,

上單調(diào)遞增,

.                  ……10分

(2)當(dāng)時,令,對稱軸

上單調(diào)遞增,又    

① 當(dāng),即時,上恒成立,

所以單調(diào)遞增,

,不合題意,舍去  

②當(dāng)時,, 不合題意,舍去 14分

綜上所述: 

 

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