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(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x³-x，其圖象記為曲線C，
(ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(ⅱ)證明：若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x₁，曲線C與其在點(diǎn)P₁(x₁，f(x₁))處的切線交于另一點(diǎn)P₂(x₂，f(x₂))，曲線C與其在點(diǎn)P₂處的切線交于另一點(diǎn)P₃(x₃，f(x₃))，線段P₁P₂，P₂P₃與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S₁，S₂，則為定值；
(Ⅱ)對(duì)于一般的三次函數(shù)g(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)，請(qǐng)給出類似于(Ⅰ)(ⅱ)的正確命題，并予以證明．

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已知函數(shù)f（x）滿足（其中為f（x）在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，C為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若方程f（x）=0有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求常數(shù)C；
（3）在（2）的條件下，若，求函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積．

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考 生 填 寫 座 位

號(hào) 碼 的 末 兩 位

題 號(hào)

一

二

三

四

17

18

19

20

21

22

23

得 分

一．選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的；每小題選出答案后，請(qǐng)用2B鉛筆把機(jī)讀卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).)

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

C

B

C

A

B

A

C

D

D

C

D

得分

評(píng)卷人

二．填空題(請(qǐng)把答案填在對(duì)應(yīng)題號(hào)的橫線上)

13..    14．.

15．.    16. （或） .

三.解答題（本大題共5小題，共64分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.請(qǐng)將答題的過(guò)程寫在答題卷中指定的位置.）

17.( 本題滿分12分)

解：（Ⅰ）由遞推關(guān)系（2分）得，（3分）；；（6分），

（Ⅱ）由，即（7分），所以；.........12分（不單列扣1分）

18．（本題滿分12分）

證明：（Ⅰ） 在三棱柱中，

    ∵側(cè)棱垂直底面，

∴ 四邊形，，都是矩形，

又 ∵ ，，，

∴ ，又 ∵ 為中點(diǎn)，

在中，，同理，．

     ∴ ，∴ ，.....4分

     在中，，

     在中，，

∴ ，∴ ．....6分

又 ，

∴　．..........8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

∴ 直線與平面所成的角為．..........9分

在中，

∴ ，...............11分

即 直線與平面所成的角的余弦值為．.......12分

解法二：（Ⅰ）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，（3分），則 ，，，  ∴ ，

∴，∴（5分），

∴ ，

∴ ，∴（7分）

又 ，∴ ．....8分

（Ⅱ）設(shè)向量與的夾角為，

∵，

∴....10分

設(shè)直線與平面所成的角為

∵平面

∴

∴直線與平面所成角的余弦值為.…………………………12分

19．（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）每個(gè)提升站需要緊急維修的概率為（2分），不需要緊急維修的概率為（3分），設(shè)需要維修的提升站數(shù)為，則．

， （4分）

， （5分）

， （6分）

．（7分）

（Ⅱ）∵，∴ 的取值是，則（元）的分布列是：

..................（9分）

∵，∴，又 ，

∴  ．

（或）

答：緊急維修費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望是750元．..........12分

20.（本題滿分14分）

解： (Ⅰ)設(shè)“封閉函數(shù) ” 的“封閉區(qū)間”為 ，其中．

 在上為減函數(shù)，故有：，

解得：，，

∴ 的“封閉區(qū)間”為．.........4分

(Ⅱ)，令，得：....6分

∴ 在(，0)上是增函數(shù)，在(2 ，+)上也是增函數(shù)；在(0 ，2)上是減函數(shù)．

顯然在上不是單調(diào)函數(shù)，故不是上的“封閉函數(shù) ”．...8分

(Ⅲ)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)是上的“封閉函數(shù) ”且“封閉區(qū)間”是，則

(1)    函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)．

，若函數(shù)在上是增函數(shù)，則對(duì)恒成立，則：；解得：．...10分

(2)    由，知，故函數(shù)在上是增函數(shù)，所以， 函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)，故有：

，∵，∴，從而方程至少有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

又方程有一根為，故：方程至少有一個(gè)不為的根．

∴，解得：且0..........13分

由(1)，(2)知：3．..........14分

21.（本題滿分14分）

解：（Ⅰ）∵離心率，且短半軸長(zhǎng)，

∴ ，∴，

     ∴ 橢圓的方程為．.............5分

（Ⅱ）設(shè)，則，，則（6分），則直線的方程為，聯(lián)立，得

（8分），

（或?qū)懗桑?sub>（8分），

（或，即 （8分）

 ∵ ，∴ ）

解之：，（10分），

∴ （11分），

（或，（11分），）

又 ∵、、三點(diǎn)共線，∴ （12分），而 ，

∴ ，..............13分

（或（13分），解之：......14分）

∵ ，∴ ，解之： .........14分．

四．選考題(從下列三道解答題中任選一道作答，作答時(shí)，請(qǐng)注明題號(hào)；若多做，則按首做題計(jì)入總分,滿分10分； 請(qǐng)將答題的過(guò)程寫在答題卷中指定的位置）

你選做_______題(請(qǐng)?jiān)跈M線上注明題號(hào))

解（或證明）：

22.證明：∵是的切線，直線是的割線

∴ ，（2分）

  又 ∵ ，∴ ，∴（5分），

     ∵ ，

∴ △與△兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等（7分），

∴ △∽△（8分）

∴ （10分）．

23.解:（Ⅰ）直線的參數(shù)方程是，即 ..5分

（Ⅱ）設(shè)，則，

∵，（7分），

∴ ，即圓的極坐標(biāo)方程為     

．.........10分

24.解：由 得 ，∴不等式的解集為（4分）

∵

∴當(dāng)≤1時(shí)，為空集，顯然成立，......6分

當(dāng)＞1時(shí)，=......8分

由  得  或    或，即，

這與＞1矛盾，

綜合上述得：≤1．.......10分