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題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)y=f(x)(x∈D),方程f(x)=x的根x0稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);若a1∈D,an+1=f(an)(n∈N*),則稱{an} 為由函數(shù)f(x)導(dǎo)出的數(shù)列.
設(shè)函數(shù)g(x)=
4x+2
x+3
,h(x)=
ax+b
cx+d
(c≠0,ad-bc≠0,(d-a)2+4bc>0)

(1)求函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn)x1,x2;
(2)設(shè)a1=3,{an} 是由函數(shù)g(x)導(dǎo)出的數(shù)列,對(duì)(1)中的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)x1,x2(不妨設(shè)x1<x2),數(shù)列求證{
an-x1
an-x2
}
是等比數(shù)列,并求
lim
n→∞
an

(3)試探究由函數(shù)h(x)導(dǎo)出的數(shù)列{bn},(其中b1=p)為周期數(shù)列的充要條件.
注:已知數(shù)列{bn},若存在正整數(shù)T,對(duì)一切n∈N*都有bn+T=bn,則稱數(shù)列{bn} 為周期數(shù)列,T是它的一個(gè)周期.

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已知x>
12
,函數(shù)f(x)=x2,h(x)=2e lnx(e為自然常數(shù)).
(Ⅰ)求證:f(x)≥h(x);
(Ⅱ)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立,則稱函數(shù)h(x)的圖象為函數(shù)f(x),g(x)的“邊界”.已知函數(shù)g(x)=-4x2+px+q(p,q∈R),試判斷“函數(shù)f(x),g(x)以函數(shù)h(x)的圖象為邊界”和“函數(shù)f(x),g(x)的圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”這兩個(gè)條件能否同時(shí)成立?若能同時(shí)成立,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)p、q的值;若不能同時(shí)成立,請(qǐng)說明理由.

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已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
①對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0; 
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,并且稱f(x)為“友誼函數(shù)”,
請(qǐng)解答下列各題:
(1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.
(3)已知f(x)為“友誼函數(shù)”,且 0≤x1<x2≤1,求證:f(x1)≤f(x2).

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已知定義域?yàn)閇0,1]的函數(shù)f(x)同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:
Ⅰ.對(duì)任意的x∈[0,1],總有f(x)≥0;Ⅱ.f(1)=1;Ⅲ.若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.則稱f(x)為“友誼函數(shù)”,請(qǐng)解答下列各題:
(1)若已知f(x)為“友誼函數(shù)”,求f(0)的值;
(2)函數(shù)g(x)=2x-1在區(qū)間[0,1]上是否為“友誼函數(shù)”?并給出理由.

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已知函數(shù)f(x)=
0(x≤0)
n[x-(n-1)]+f(n-1)(n-1<x≤n,n∈N*)
數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)x軸、直線x=a與函數(shù)y=f(x)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為S(a)(a≥0),求S(n)-S(n-1)(n∈N*);
(3)在集合M={N|N=2k,k∈Z,且1000≤k<1500}中,是否存在正整數(shù)N,使得不等式an-1005>S(n)-S(n-1)對(duì)一切n>N恒成立?若存在,則這樣的正整數(shù)N共有多少個(gè)?并求出滿足條件的最小的正整數(shù)N;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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