題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分16分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)在上單調(diào)遞增;(Ⅱ)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求的值;
(Ⅲ)若存在,使得,試求的取值范圍.
(本小題滿分16分) 設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù). (1)若,求的取值范圍; (2)求的最小值; (3)設(shè)函數(shù),求不等式的解集.
(本小題滿分16分)
按照某學(xué)者的理論,假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元,如果他賣(mài)出該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為;如果他買(mǎi)進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣(mài)出或買(mǎi)進(jìn))的滿意度分別為和,則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為.
現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元,乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元,設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元,甲買(mǎi)進(jìn)A與賣(mài)出B的綜合滿意度為,乙賣(mài)出A與買(mǎi)進(jìn)B的綜合滿意度為
(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式;當(dāng)時(shí),求證:=;
(2)設(shè),當(dāng)、分別為多少時(shí),甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少? (3)記(2)中最大的綜合滿意度為,試問(wèn)能否適當(dāng)選取、的值,使得和同時(shí)成立,但等號(hào)不同時(shí)成立?試說(shuō)明理由。
(本小題滿分16分)已知⊙和點(diǎn).
(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)向⊙引切線,求直線的方程;
(Ⅱ)求以點(diǎn)為圓心,且被直線截得的弦長(zhǎng)4的⊙的方程;
(Ⅲ)設(shè)為(Ⅱ)中⊙上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向⊙引切線,切點(diǎn)為Q. 試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn),使得為定值?若存在,請(qǐng)舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(本小題滿分16分)已知⊙和點(diǎn).
(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)向⊙引切線,求直線的方程;
(Ⅱ)求以點(diǎn)為圓心,且被直線截得的弦長(zhǎng)為 4的⊙的方程;
(Ⅲ)設(shè)為(Ⅱ)中⊙上任一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)向⊙引切線,切點(diǎn)為Q. 試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn),使得為定值?若存在,請(qǐng)舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
第Ⅰ卷
一、填空題:
1. {1,2,3}; 2.充分非必要;3.; 4.; 5. 8; 6. (歷史) 5049; (物理) ; 7. 1; 8.
9.;10.; 11.; 12.;13.;
二、解答題:
15. 解:(1)因?yàn)?sub>,所以…………(3分)
得 (用輔助角得到同樣給分) ………(5分)
又,所以= ……………………………………(7分)
(2)因?yàn)?sub> ………………………(9分)
= …………………………………………(11分)
所以當(dāng)=時(shí), 的最大值為5+4=9 …………………(13分)
故的最大值為3 ………………………………………(14分)
16. (選歷史方向) 解: (1)表格為:
高 個(gè)
非高個(gè)
合 計(jì)
大 腳
5
2
7
非大腳
1
13
合 計(jì)
6
14
…… (3分)
(說(shuō)明:黑框內(nèi)的三個(gè)數(shù)據(jù)每個(gè)1分,黑框外合計(jì)數(shù)據(jù)有錯(cuò)誤的暫不扣分)
(2)提出假設(shè)H0: 人的腳的大小與身高之間沒(méi)有關(guān)系. …………………………… (4分)
根據(jù)上述列聯(lián)表可以求得.…………………… (7分)
當(dāng)H0成立時(shí),的概率約為0.005,而這里8.802>7.879,
所以我們有99.5%的把握認(rèn)為: 人的腳的大小與身高之間有關(guān)系. ……………… (8分)
(3) ①抽到12號(hào)的概率為………………………………… (11分)
②抽到“無(wú)效序號(hào)(超過(guò)20號(hào))”的概率為…………………… (14分)
(選物理方向) 解:(Ⅰ)在給定的直角坐標(biāo)系下,設(shè)最高點(diǎn)為A,入水點(diǎn)為B,
拋物線的解析式為. …………………………… 2′
由題意,知O(0,0),B(2,-10),且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為.…………… 4′
或 …………………………… 8′
∵拋物線對(duì)稱軸在y軸右側(cè),∴,又∵拋物線開(kāi)口向下,∴a<0,
從而b>0,故有 ……………………………9′
∴拋物線的解析式為. ……………………………10′
(Ⅱ)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為米時(shí),
即時(shí),, ……………………………12′
∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面的高為10-=<5,因此,此次跳水會(huì)失誤.………………14′
17. (1)證明:由直四棱柱,得,
所以是平行四邊形,所以 …………………(3分)
而,,所以面 ………(4分)
(2)證明:因?yàn)?sub>, 所以 ……(6分)
又因?yàn)?sub>,且,所以 ……… ……(8分)
而,所以 …………………………(9分)
(3)當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí),平面平面…………………(10分)
取DC的中點(diǎn)N,,連結(jié)交于,連結(jié).
因?yàn)镹是DC中點(diǎn),BD=BC,所以;又因?yàn)镈C是面ABCD與面的交線,而面ABCD⊥面,
所以……………(12分)
又可證得,是的中點(diǎn),所以BM∥ON且BM=ON,即BMON是平行四邊形,所以BN∥OM,所以O(shè)M平面,
因?yàn)镺M?面DMC1,所以平面平面………………………(14分)
18. 解:(1)因?yàn)?sub>,所以c=1……………………(2分)
則b=1,即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………………………(4分)
(2)因?yàn)?sub>(1,1),所以,所以,所以直線OQ的方程為y=-2x(6分)
又橢圓的左準(zhǔn)線方程為x=-2,所以點(diǎn)Q(-2,4) …………………………(7分)
所以,又,所以,即,
故直線與圓相切……………………………………………………(9分)
(3)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線與圓保持相切 ………(10分)
證明:設(shè)(),則,所以,,
所以直線OQ的方程為 ……………(12分)
所以點(diǎn)Q(-2,) ……………… (13分)
所以,
又,所以,即,故直線始終與圓相切……(15分)
19.⑴解:函數(shù)的定義域?yàn)?sub>,()…… (2分)
若,則,有單調(diào)遞增區(qū)間. ……………… (3分)
若,令,得,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),. ……………… (5分)
有單調(diào)遞減區(qū)間,單調(diào)遞增區(qū)間. ……………… (6分)
⑵解:(i)若,在上單調(diào)遞增,所以. ……… (7分)
若,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以. ……………… (9分)
若,在上單調(diào)遞減,所以.………… (10分)
綜上所述, ……………… (12分)
(ii)令.若,無(wú)解. ……………… (13分)
若,解得. ……………… (14分)
若,解得. ……………… (15分)
故的取值范圍為. ……………… (16分)
20. (1)數(shù)表中第行的數(shù)依次所組成數(shù)列的通項(xiàng)為,則由題意可得
… (2分)
(其中為第行數(shù)所組成的數(shù)列的公差) (4分)
(2)
第一行的數(shù)依次成等差數(shù)列,由(1)知,第2行的數(shù)也依次成等差數(shù)列,依次類推,可知數(shù)表中任一行的數(shù)(不少于3個(gè))都依次成等差數(shù)列. ……………… (5分)
設(shè)第行的數(shù)公差為,則,則…………… (6分)
所以
(10 分)
(3)由,可得
所以= ……………… (11分)
令,則,所以 ………… (13分)
要使得,即,只要=,
,,所以只要,
即只要,所以可以令
則當(dāng)時(shí),都有.
所以適合題設(shè)的一個(gè)函數(shù)為 (16分)
第Ⅱ卷(附加題 共40分)
1. (1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為,M的坐標(biāo)為,
則即為所求的軌跡方程. …………(6分)
(2)由(1)知P的軌跡是以()為圓心,半徑為的圓,易得RP的最小值為1
.……(10分)
2. ,|x-a|<l,
, …………………………………………………5分
= ………………………10分
3. 證明:以為坐標(biāo)原點(diǎn)長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)為
.
(1)解:因
所以,與所成的角余弦值為 …………………………………5分
(2)解:在上取一點(diǎn),則存在使
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