（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）設(shè)的中點(diǎn)為，求證：平面；
（Ⅲ）求四棱錐的體積．

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（1）求證：平面平面；
（2）求正方形的邊長(zhǎng)；
（3）求二面角的平面角的正切值．

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（1）求證：平面EFG∥平面CB₁D₁；
（2）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁  ；
（3）求異面直線(xiàn)FG、B₁C所成的角

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（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）求二面角C-AB-D的大小。

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（Ⅰ）如圖1，A，B，C是平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，試證明：存在實(shí)數(shù)λ，使得：

PC

=λ

PA

+(1-λ)

PB

．
（Ⅱ）如圖2，設(shè)G為△ABC的重心，PQ過(guò)G點(diǎn)且與AB、AC（或其延長(zhǎng)線(xiàn)）分別交于P，Q點(diǎn)，若

AP

=m

AB

，

AQ

=n

AC

，試探究：

1

m

+

1

n

的值是否為定值，若為定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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一、填空題：（每小題５分，共７０分）

1．2     　 2． 1+2i       3．π     　　　4． 9    　 　5．充分不必要

6．（s,t）　　7．　  8． 　　　9.  　　　10.

11. 　　　12.  4    　　 13. 　　　14①③④

二、解答題：（共９０分）

15、（本小題滿(mǎn)分14分）

解： （Ⅰ）因?yàn)楦鹘M的頻率和等于1,故低于50分的頻率為：

………………………………3分

所以低于50分的人數(shù)為（人）………………………………………….5分

（Ⅱ）依題意，成績(jī)60及以上的分?jǐn)?shù)所在的第三、四、五、六組（低于50分的為第一組），

頻率和為

所以，抽樣學(xué)生成績(jī)的合格率是%……………………………………………………8分.

于是，可以估計(jì)這次考試物理學(xué)科及格率約為%……………………………………9分.

（Ⅲ）“成績(jī)低于50分”及“[50,60)”的人數(shù)分別是6,9。所以從成績(jī)不及格的學(xué)生中選兩人，他們成績(jī)至少有一個(gè)不低于50分的概率為：

              ……………………………………………………14分

16．（本小題滿(mǎn)分14分）

解：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，    ………………………………3分

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.   ……………7分

（Ⅱ）由得，

因?yàn)?sub> ，所以當(dāng)時(shí)，取最小值3，即
當(dāng)時(shí)，取最大值4，即
將代入（1）式得.        ………………………………14分

17．（本小題滿(mǎn)分14分）

（Ⅰ）證明：側(cè)面，

側(cè)面，，

………3分

在中，，

則有， 

，，           ………………………………………6分

又平面．        ……………………………………7分

（Ⅱ）證明：連、，連交于，

，，四邊形是平行四邊形，……………10分

                                       ………………………11分

又平面，平面，

平面．                               ………………………14分

18．（本小題滿(mǎn)分1６分）

解：（I）為圓周的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為

設(shè)的方程為的方程為…5分

（II）設(shè)橢圓方程為，半焦距為c，則橢圓與圓O恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則或                     ………………………………7分

當(dāng)時(shí)，所求橢圓方程為；當(dāng)時(shí)，

所求橢圓方程為                      ………………………………1１分

（III）設(shè)切點(diǎn)為N，則由題意得，在中，，則，

N點(diǎn)的坐標(biāo)為，……………………1２分

若橢圓為其焦點(diǎn)F₁,F₂

分別為點(diǎn)A,B故，

若橢圓為，其焦點(diǎn)為,

此時(shí)　　　　　　　　　　………………………………1６分

19.（本小題滿(mǎn)分1６分）

解：（1）為等差數(shù)列，∵，又，

∴ ，是方程的兩個(gè)根

又公差，∴，∴， ……………………………      2分

∴    ∴   ∴………………………………  4分

（2）由(1)知， …………………………………    5分

∴

∴，， …………………………………………  7分

∵是等差數(shù)列，∴，∴ …………………………  8分

∴（舍去） ……………………………………………………… 9分

（3）由(2)得 …………………………………………………… 11分

  ，時(shí)取等號(hào) … 13分

，時(shí)取等號(hào)15分

(1)、(2)式中等號(hào)不可能同時(shí)取到，所以 ………………… 16分

20. (本小題滿(mǎn)分16分)

解（I）由題意：

∴a=2                ……………………………………………  2分

而所以h(x)在上為增函數(shù)，h(x)在上為增函數(shù)。…………       4分

（II）

欲證：只需證：，即證：

記

∴

∴當(dāng)x>1時(shí)，為增函數(shù)……………………………….9分

即

∴結(jié)論成立          ………………………………………………………………10分

（III）由 （1）知：

∴對(duì)應(yīng)表達(dá)式為

∴問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)

即求方程：

即：

設(shè)

∴當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).

當(dāng)時(shí)，為增函數(shù).

而的圖象開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè). …………………………………16分

江蘇省高郵中學(xué)2009屆高三第一學(xué)期期末模擬考試

數(shù)學(xué)試卷

Ⅱ卷（加試題部分）參考答案

1.解： ，………………………………………………………  5分

圓在的作用下的新曲線(xiàn)的方程為 ……10分

2．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距,過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F₁作一直線(xiàn)，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè),當(dāng)α為何值時(shí)，MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等？

解：以橢圓的左焦點(diǎn)為極點(diǎn)長(zhǎng)軸所在直線(xiàn)為

極軸建立極坐標(biāo)系（如圖）

這里:a=3,c=,

………………………2分

所以橢圓的極坐標(biāo)方程為：

………………………４分

設(shè)M點(diǎn)的極坐標(biāo)為，N點(diǎn)的極坐標(biāo)為，………………５分

解法二：設(shè)橢圓的方程為，其左焦點(diǎn)為，直線(xiàn)MN的參數(shù)方程為：

，           ………………４分

將此參數(shù)方程代人橢圓方程并整理得：

，設(shè)M、N對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則

2解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 ……………………2分

cos<>． 　          ………………………………4分

由于異面直線(xiàn)BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．………………5分

（2），，設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個(gè)法向量為n₂＝（0，0，1），

　………………………………7分

．

　    …………………………………9分

由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．…… 10分

4．解：（１）記＂一次取出的３張卡片上的數(shù)字互不相同的事件＂為Ａ，

　      則　　………………………………………………２分

（２）由題意有可能的取值為：２，３，４，５

 　………５分

所以隨機(jī)變量的概率分布為：

２

３

４

５

Ｐ

　所以的數(shù)學(xué)期望為Ｅ＝＋＋＋