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題目列表(包括答案和解析)

8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現(xiàn)從中任取4個球，記取出白球的個數(shù)為X．
（1）求X的分布列；
（2）求P(
X+1X-1
-2≥0)．

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(8分)
如圖，在四面體中，，點分別是的中點．求證：
（1）直線面；
（2）平面面．

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．（本題滿分12分）
甲、乙兩位學生參加數(shù)學競賽培訓(xùn)．現(xiàn)分別從他們在培訓(xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績中隨機抽取8次．記錄如下：
甲：82 81 79 78 95 88 93 84  乙：92 95 80 75 83 80 90 85
（1）畫出甲、乙兩位學生成績的莖葉圖，指出學生乙成績的中位數(shù)；
（2）現(xiàn)要從中選派一人參加數(shù)學競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位學生參加合適?請說明理由；
（3）若將頻率視為概率，對學生甲在今后的三次數(shù)學競賽成績進行預(yù)測，記這三次成績中高于80分的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

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． (本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分)

已知向量，，

（1）當時，求的值；

（2）求的最大值與最小值．

 

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．．(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分。

設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足。

⑴求數(shù)列的通項公式；

⑵設(shè)，若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

⑶是否存在以為首項，公比為的等比數(shù)列，，使得數(shù)列中每一項都是數(shù)列中不同的項，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列的通項公式；若不存在，說明理由。

 

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.

1．第二象限  2． 3   3．Π   4．   5． __ 6． 2  7．

8．   9． 10  10.向右平移  11． 3.5  12.①④   13.  14.①③

二、解答題：本大題共6小題，計90分.

15．解：（1）．

又，，即，

．

（2），，

且，

，即的取值范圍是．

16．（Ⅰ）證明:連結(jié)AF,在矩形ABCD中,因為AD=4,AB=2,點F是BC的中點,所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°,即AF⊥FD.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.  

所以FD⊥平面PAF.  故PF⊥FD. 

（Ⅱ）過E作EH//FD交AD于H,則EH//平面PFD,且 AH=AD.  再過H作HG//PD交PA于G,則GH//平面PFD,且 AG=PA.  所以平面EHG//平面PFD,則EG//平面PFD,從而點G滿足AG=PA. 

17．解：（1）由于⊙M與∠BOA的兩邊均相切，故M到OA及OB的距離均為⊙M的半

徑，則M在∠BOA的平分線上，

    同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N

三點共線，且OMN為∠BOA的平分線，

∵M的坐標為，∴M到軸的距離為1，即

⊙M的半徑為1，

則⊙M的方程為，

  設(shè)⊙N的半徑為，其與軸的的切點為C，連接MA、MC，

  由Rt△OAM∽Rt△OCN可知，OM：ON=MA：NC，即，

  則OC=，則⊙N的方程為；

（2）由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被⊙截得的弦

的長度，此弦的方程是，即：，

圓心N到該直線的距離d=，則弦長=．

另解：求得B（），再得過B與MN平行的直線方程，圓心N到該直線的距離=，則弦長=．

（也可以直接求A點或B點到直線MN的距離，進而求得弦長）

18．解（1）由題意的中垂線方程分別為，

于是圓心坐標為…………………………………4分

=＞，即   ＞即＞所以＞ ，

于是＞ 即＞ ，所以＜  即 ＜＜………………8分

（2）假設(shè)相切， 則，……………………………………………………10分

，………13分這與＜＜矛盾.

故直線不能與圓相切. ………………………………………………16分

19．解（Ⅰ）∵，

         ∴                               

∴，∴，令，得，列表如下：

2

0

遞減

極小值

遞增

∴在處取得極小值，

即的最小值為．              

，∵，∴，又，∴．                                        

（Ⅱ）證明由（Ⅰ）知，的最小值是正數(shù)，∴對一切，恒有從而當時，恒有，故在上是增函數(shù)．

（Ⅲ）證明由（Ⅱ）知：在上是增函數(shù)，

     ∴當時，，   又，                     

∴，即，∴

故當時，恒有．

20．解：（1）數(shù)列{an}的前n項和，

…2分

又，    …………4分

是正項等比數(shù)列，，  …………6分

公比，數(shù)列         …………8分

（2）解法一：，

由              …………11分

，當，       …………13分

又故存在正整數(shù)M，使得對一切M的最小值為2.…16分

（2）解法二：令，11分

由，

函數(shù)……13分

對于

故存在正整數(shù)M，使得對一切恒成立，M的最小值為2.……16分

 


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