設(shè)a，b是異面直線，給出下列四個命題：
①存在平面α，β，使a?α，b?β，α∥β；
②存在惟一平面α，使a，b與α距離相等；
③空間存在直線c，使c上任一點到a，b距離相等；
④與a，b都相交的兩條直線m，n一定是異面直線．
其中正確命題的個數(shù)有

0

1

2

       。

17．。提示：令，得；令，得；令，得；令，得；故。

三、解答題

18．解：（I）

――――7分

（II）因為為銳角，且，所以。――――9分

――14分

19．解：（I）因為平面，

所以平面平面，

又，所以平面，

得，又

所以平面；――――4分

（II）因為，所以四邊形為 

菱形，

故，又為中點，知。

取中點，則平面，從而面面，

       過作于，則面，

       在中，，故，

       即到平面的距離為。――――9分

       （III）過作于，連，則，

       從而為二面角的平面角，

       在中，，所以，

在中，，

       故二面角的大小為。14分

       解法2：（I）如圖，取的中點，則，因為，

       所以，又平面，

       以為軸建立空間坐標系，

       則，，，

，，

，，

，由，知，

       又，從而平面；――――4分

       （II）由，得。

       設(shè)平面的法向量為，，，所以

，設(shè)，則

       所以點到平面的距離。――9分

       （III）再設(shè)平面的法向量為，，，

       所以

，設(shè)，則，

       故，根據(jù)法向量的方向，

       可知二面角的大小為。――――14分

20．解：（I）設(shè)，則，因為 ，可得；又由，

       可得點的軌跡的方程為。――――6分（沒有扣1分）

       （II）假設(shè)存在直線，代入并整理得

，――――8分

       設(shè)，則   ――――10分

       又

，解得或――――13分

       特別地，若，代入得，，此方程無解，即。

       綜上，的斜率的取值范圍是或。――――14分

21．解：（I）

       （1）當時，函數(shù)是增函數(shù)，

       此時，，

，所以；――2分

       （2）當時，函數(shù)是減函數(shù)，此時，，

，所以；――――4分

       （3）當時，若，則，有；

       若，則，有；

       因此，，――――6分

       而，

       故當時，，有；

       當時，，有；――――8分

綜上所述：。――――10分

       （II）畫出的圖象，如右圖。――――12分

       數(shù)形結(jié)合，可得。――――14分

22．解: (Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.

       （1）當n=1時,由已知得結(jié)論成立;

       （2）假設(shè)當n=k時,結(jié)論成立,即.則當n=k+1時,

       因為0<x<1時,,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).

       又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即0<.

       故當n=k+1時,結(jié)論也成立. 即對于一切正整數(shù)都成立.――――4分

       又由, 得,從而.

       綜上可知――――6分

       (Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,

       由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).

       又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.

    因為,所以,即>0,從而――――10分

       (Ⅲ) 因為 ,所以, ,

       所以   ――――① , ――――12分

       由(Ⅱ)知:,  所以= ,

       因為, n≥2,

    所以 <<=――――② .  ――――14分

       由①② 兩式可知: .――――16分