本小題滿(mǎn)分12分）

古代印度婆羅門(mén)教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)��?jīng)玩過(guò)一種被稱(chēng)為“河內(nèi)寶塔問(wèn)題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有個(gè)圓盤(pán)依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A桿上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤(pán)換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何不允許將大盤(pán)套在小盤(pán)上面，假定有三柱子A，B，C可供使用。

現(xiàn)用表示將n個(gè)圓盤(pán)全部從A柱上移到C上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問(wèn)題：

   （1）寫(xiě)出，并求出

   （2）記，求和；

       （其中表示所有的積的和）

   （3）證明：

本小題滿(mǎn)分12分）
古代印度婆羅門(mén)教寺廟內(nèi)的僧侶們?cè)��?jīng)玩過(guò)一種被稱(chēng)為“河內(nèi)寶塔問(wèn)題”的游戲，其玩法如下：如圖，設(shè)有個(gè)圓盤(pán)依其半徑大小，大的在下，小的在上套在A桿上，現(xiàn)要將套在A柱上的盤(pán)換到C柱上，要求每次只能搬動(dòng)一個(gè)，而且任何不允許將大盤(pán)套在小盤(pán)上面，假定有三柱子A，B，C可供使用。

現(xiàn)用表示將n個(gè)圓盤(pán)全部從A柱上移到C上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，回答下列問(wèn)題：
（1）寫(xiě)出，并求出
（2）記，求和；
（其中表示所有的積的和）
（3）證明：