直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A．B兩點，O為坐標原點．
（1）若k=1（2），求△AOB的面積
（3）若A．B在雙曲線的左右兩支上，求k的取值范圍．

（1）同解法一……………………4分

（2）∵A₁B₁C₁―ABC為直三棱住   C₁C=CB=CA=2

AC⊥CB  D、E分別為C₁C、B₁C₁的中點

建立如圖所示的坐標系得

C（0，0，0） B（2，0，0）  A（0，2，0）

C₁（0，0，2）  B₁（2，0，2）  A­₁（0，2，2）

D（0，0，1）  E（1，0，2）………………6分

  設平面A₁BD的法向量為n

       …………8分

平面ACC₁A₁­的法向量為m=（1，0，0）  …………9分

即二面角B―A₁D―A的大小為………………10分

20.（文） 解：將各項指標合格分別記作A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，則

（1）由于“至少有兩項指標不合格”，與“至多1項指標不合格”對立，故這個電子

元件不能出廠的概率為  ………………6分

（2）直到五項指標全部檢查完才能確定該元件是否出廠，表明前4項檢驗中恰有1項

檢驗不合格. 故直到五項指標全部檢查完才能確定該元件是否出廠的概率為

……………………12分

（理）  解：（Ⅰ）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P

（Ⅱ）

21.解：（1）當k=0時，y=1與3x²-y²=1有二公共點；若k≠0，則x=(y-1)代入3x²-y²=1有(3-k²)y²-6y+3-k²=0，顯然k²=3時，直線與雙曲線漸近線平行，無二公共點，所以k²≠3．由y∈R，所以Δ=36-4(3-k²)²≥0，所以0<k²<6，且k²≠3．綜合知k≠(-，)且k≠±時，直線與雙曲線交于二點，反之亦然．

（2）設A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，消去y，得(3-k²)x²-2kx-2=0的二根為x₁、x₂，所以x₁+x₂=，x₁x₂=，由（1）知y₁y₂=1，因為圓過原點，以AB為直徑，所以x₁x₂+y₁y₂=0，所以k²=1，即k=±1為所求的值．

22.解：（1）  ………………2分

    由已知條件得：    ………………4分

       （2）………………5分

    ………………6分

    令    ………………7分

    ∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為

    當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（0，2）…………8分

    綜上：當m>0時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；當時，

    函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（0，2）………………9分

   （3）由（1）得： 

    …………10分

    令………………11分

    即：……………………14分

數(shù)學2參考答案（2007年10月17日）

1―6、AABCCD   7―12、DBBDCA

13、(lg2,+∞)   14、0， 15、-1

16、（文）-10，（理）（2-i）/3

19.解：（1）∵A₁B₁C₁－ABC為直三棱住  ∴CC₁⊥底面ABC  ∴CC₁⊥BC

    ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A₁C₁CA………………2分

    ∴BC長度即為B點到平面A₁C₁CA的距離

    ∵BC=2  ∴點B到平面A₁C₁CA的距離為2……………………4分

（2）分別延長AC，A₁D交于G. 過C作CM⊥A₁G 于M，連結BM

    ∵BC⊥平面ACC­₁A₁   ∴CM為BM在平面A₁C₁CA的內射影

    ∴BM⊥A₁G    ∴∠CMB為二面角B―A₁D―A的平面角  ……………………6分

    平面A₁C₁CA中，C₁C=CA=2，D為C₁C的中點

    ∴CG=2，DC=1 在直角三角形CDG中，       ……9分

    即二面角B―A₁D―A的大小為                   ………………10分