（2013•牡丹江一模）已知雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長為半徑的圓和直線x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ） 求雙曲線E的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)F為雙曲線E的左焦點(diǎn)，試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，過點(diǎn)M任意作一條直線l交雙曲線E于P，Q兩點(diǎn)，使

FP

•

FQ

為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

設(shè)點(diǎn)P（m，n）在直線ax+by+3c=0上，且2c是實(shí)半軸長為a，虛半軸長為b的雙曲線的焦距，則m²+n²的最小值為 （　�。�

（2009•普陀區(qū)一模）如圖，已知圓C：x²+y²=r²與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為A．由點(diǎn)A出發(fā)的射線l的斜率為k，且k為有理數(shù)．射線l與圓C相交于另一點(diǎn)B．
（1）當(dāng)r=1時(shí)，試用k表示點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)r=1時(shí)，試證明：點(diǎn)B一定是單位圓C上的有理點(diǎn)；（說明：坐標(biāo)平面上，橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn)．我們知道，一個(gè)有理數(shù)可以表示為

q

p

，其中p、q均為整數(shù)且p、q互質(zhì)）
（3）定義：實(shí)半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，是否能構(gòu)造“整勾股雙曲線”，它的實(shí)半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點(diǎn)B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑r的數(shù)值構(gòu)成？若能，請嘗試探索其構(gòu)造方法；若不能，試簡述你的理由．