(Ⅱ)數(shù)列滿足:.且,記數(shù)列的前n項(xiàng)和為. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

數(shù)列{an}前n項(xiàng)和記為Sn,且an>0,Sn=
1
8
(an+2)2(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an
(2)若bn滿足bn=(t-1)
an+2
4
(t>1)
,Tn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和,求:Tn
(3)在(2)的條件下求
lim
n→∞
Tn
Tn+1

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記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S′,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S″.
(1)若{an}是等差數(shù)列,項(xiàng)數(shù)n為偶數(shù),首項(xiàng)a1=1,公差,且S″-S′=15,求Sn
(2)若無(wú)窮數(shù)列{an}滿足條件:①(n∈N*),②S′=S″.求{an}的通項(xiàng);
(3)若{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,公差d∈N*,且S′=36,S″=27,請(qǐng)寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列.

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(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=
x
x+1
.?dāng)?shù)列{an}滿足:an>0,a1=1,且
an+1
=f(
an
)
,記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
2
2
[
1
an
+(
2
+1)n]
.求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;并判斷b4+b6是否仍為數(shù)列{bn}中的項(xiàng)?若是,請(qǐng)證明;否則,說(shuō)明理由.
(Ⅱ)設(shè){cn}為首項(xiàng)是c1,公差d≠0的等差數(shù)列,求證:“數(shù)列{cn}中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列{cn}中的項(xiàng)”的充要條件是“存在整數(shù)m≥-1,使c1=md”.

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數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),Sn=(m+1)-man對(duì)任意的n∈N*都成立,其中m為常數(shù),且m<-1.
(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)記數(shù)列{an}的公比為q,設(shè)q=f(m).若數(shù)列{bn}滿足;b1=a1,bn=f(bn-1)(n≥2,n∈N*).求證:數(shù)列{
1bn
}
是等差數(shù)列;
(3)在(2)的條件下,設(shè)cn=bn•bn+1,數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n.求證:Tn<1.

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數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記作Sn,滿足Sn=2an+3n-12  (n∈N*).
(1)求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=
an
(Sn-3n)(an+1-6) 
,求證:b1+b2+…+bn
1
6
;
(3)若cn=
an-3
3n
,且
1
c1
+
1
c2
+…+
1
cn
<loga(6-a)對(duì)所有的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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說(shuō)明:

       一、本解答指出了每題要考查的主要知識(shí)和能力,并給出了一種或幾種解法供參考,如果考生的解法與本解答不同,可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

       二、對(duì)計(jì)算題,當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí),如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度,可視影響的程度決定后繼部分的給分,但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半;如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤,就不再給分.

       三、解答右端所注分?jǐn)?shù),表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

       四、只給整數(shù)分?jǐn)?shù),選擇題和填空題不給中間分.

一、選擇題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題5分,滿分50分.

1. A        2. C        3. C        4.C         5.D         6.D         7. B        8. D        9. B        10. C

二、填空題:本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算,每小題4分,滿分20分.

11.  12.38            12.  5           13.  3        14.     15. ②③

三、解答題:本大題共6小題,共80分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

16. 本小題主要考查正弦定理、三角函數(shù)的倍角公式、兩角和公式等基本知識(shí),考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力. 滿分13分.

解:(Ⅰ)由,知                 ………………………(2分)

,得,

          ,                   ………(5分)

                                   ………(6分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,

          

                   ………………(9分)

        

         當(dāng),即時(shí),取得最大值為.   ……(13分)                               

17. 本題主要考查線線、線面、面面位置關(guān)系,線面角等基本知識(shí),考查空間想像能力,運(yùn)算求解能力和推理論證能力. 滿分13分.

解:(Ⅰ)證明:如圖,取中點(diǎn),連結(jié),

,,

,

,…………(3分)

四邊形為平行四邊形,

,

平面平面,

∥平面.                        ………………………(6分)

(Ⅱ)依題意知平面平面,,

平面,得  

,.

如圖,以為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系-xyz,

,可得、、

.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

   得

解得.            ………………(9分)

設(shè)線段上存在一點(diǎn),其中,則,

,

依題意:,即,

可得,解得(舍去).  

 所以上存在一點(diǎn).   …………(13分)

18.本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí),考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力,

考查應(yīng)用意識(shí). 滿分13分.

  解:(Ⅰ)依題意,銷(xiāo)售價(jià)提高后為6000(1+)元/臺(tái),月銷(xiāo)售量為臺(tái)…(2分)

               ……………………(4分)

.       ……………………(6分)

(Ⅱ),得

解得舍去).                      ……………………(9分)

當(dāng) 當(dāng)當(dāng)時(shí),取得最大值.

此時(shí)銷(xiāo)售價(jià)為元.

答:筆記本電腦的銷(xiāo)售價(jià)為9000元時(shí),電腦企業(yè)的月利潤(rùn)最大.…………………(13分)

19.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式的解法等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 滿分13分

解:(Ⅰ)因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是(1,0),所以半焦距=1.

因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

所以,解得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  …(4分)                

(Ⅱ)(i)設(shè)直線聯(lián)立并消去得:.

,,

,

.  ……………(5分)

A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,得,根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為,0),

,即.所以

即定點(diǎn)(1 , 0).                ……(8分)

(ii)由(i)中判別式,解得.     可知直線過(guò)定點(diǎn) (1,0).

所以          ……………(10分)

,  令

,得,當(dāng)時(shí),.

上為增函數(shù). 所以 ,

.故△OA1B的面積取值范圍是.           …(13分)

20. 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、等差數(shù)列、不等式等基本知識(shí),考查運(yùn)用合理的推理證明解決問(wèn)題的方法,考查分類(lèi)與整合及化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想. 滿分14分.

解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>

所以.           ………………(1分)

(i)當(dāng)時(shí),.

(ii)當(dāng)時(shí),由,得到,知在.

(iii)當(dāng)時(shí),由,得到,知在.

綜上,當(dāng)時(shí),遞增區(qū)間為;當(dāng)時(shí), 遞增區(qū)間為.                   …………(4分)

(Ⅱ)(i)因?yàn)?sub>,所以,即,

,即.     ……………………………………(6分)

因?yàn)?sub>,

當(dāng)時(shí),,

當(dāng)時(shí),,

所以.                  …………………………(8分)

又因?yàn)?sub>,

所以令,則

得到矛盾,所以不在數(shù)列中.    ………(9分)

(ii)充分性:若存在整數(shù),使.

設(shè)為數(shù)列中不同的兩項(xiàng),則.

,所以.

是數(shù)列的第項(xiàng).           ……………………(10分)

必要性:若數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng),

,,(為互不相同的正整數(shù))

,令,

得到 ,

所以,令整數(shù),所以. ……(11 分)

下證整數(shù).若設(shè)整數(shù).令,

由題設(shè)取使

,所以

相矛盾,所以.

綜上, 數(shù)列中任意不同兩項(xiàng)之和仍為數(shù)列中的項(xiàng)的充要條件是存在整數(shù),使.                          ……………………(14分)

21. (1)本題主要考查矩陣乘法、逆矩陣與變換等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力, 滿分7分.

解: ,即

所以  得              …………(4分)

     即M=   , .

=1 ,  .          …………(7分)

(2)本題主要考查圓極坐標(biāo)方程和直線參數(shù)方程等基本知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解:曲線的極坐標(biāo)方程可化為,

其直角坐標(biāo)方程為,即.      ………(2分)

直線的方程為.

所以,圓心到直線的距離          ………(5分)

所以,的最小值為.                 …………(7分)

(3)本題主要考查柯西不等式與不等式解法等基本知識(shí),考查化歸與轉(zhuǎn)化思想. 滿分7分.

解:由柯西不等式:

. …………(3分)

因?yàn)?sub>

所以,即

因?yàn)?sub>的最大值是7,所以,得

當(dāng)時(shí),取最大值,

所以.                         ……………………(7分)

 

 


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