(Ⅱ)求點到平面的距離, 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數(shù)k，直線(
3
k+1)x+(k-
3
)y-(3k+
3
)=0恒過定點F．設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為2+
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：x2+y2=r2（r＞0）與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關系．

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在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點到橢圓E的兩個焦點距離之和為2
3
，橢圓E的離心率為
6
3
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若b為橢圓E的半短軸長，記C（0，b），直線l經(jīng)過點C且斜率為2，與直線l平行的直線AB過點（1，0）且交橢圓于A、B兩點，求△ABC的面積S的值．

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在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為
x=2cos
? 
y=2sin?-2
（?為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，C2的極坐標方程為ρcos(θ-
π
4
)=
2
，（余弦展開為+號，改題還是答案？）
（1）求曲線C1的極坐標方程及C2的直角坐標方程；
（2）點P為C1上任意一點，求P到C2距離的取值范圍．

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在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，

若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

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在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知點，，若點C滿足，點C的軌跡與拋物線交于A、B兩點．

（I）求證：；

（II）在軸正半軸上是否存在一定點，使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題：ADBAA    BCCDB

二、填空題

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答題：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比數(shù)列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當時，則．此時輪船更安全．

2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．

3當時，則．此時輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                             …（12分）

 

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y2＝x2＋?cos60°，?

∴y2＝x2＋－2a2

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2

且y＝，設f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?

當t∈（a2，2a2）時，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?

f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）

＝（t1－t2）?，?

∵a2＜t1＜t2＜2a2?

∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?

∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?

∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?

同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?

又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當t＝2a2時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或4a2時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且ymax＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?

 

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設方程為，

代入橢圓方程整理得：．

，，．

則

          ，

而

∴，從而．

綜合可知：對于任意的割線，恒有．                ………（8分）

（Ⅱ），

即：，

當且僅當，即（此時適合于的條件）取到等號．

∴三角形△ABF面積的最大值是．                 ………………………………（13分）

21.解：（Ⅰ）由

故x>0或x≤－1

f(x)定義域為                          …………………………（4分）

（Ⅱ）

下面使用數(shù)學歸納法證明：

①在n=1時，a1=1，<a1<2，則n=1時（*）式成立.

②假設n=k時成立，

由

要證明：

只需

只需(2k+1)3≤8k(k+1)2

只需1≤4k2+2k

而4k2+2k≥1在k≥1時恒成立.

只需證：4k2+11k+8>0，而4k2+11k+8>0在k≥1時恒成立.

于是：

因此得證.

綜合①②可知（*）式得證.從而原不等式成立.                     ………………9分

（Ⅲ）要證明：

由（2）可知只需證：

…………（**）

下面用分析法證明：（**）式成立。

要使（**）成立，只需證：

即只需證：(3n－2)3n>(3n－1)3(n－1)

只需證：2n>1

而2n>1在n≥1時顯然成立.故（**）式得證：

于是由（**）式可知有：

因此有：

                     ……………………………………（13分）

 

 

 

雅禮中學2008屆高三第八次質(zhì)檢數(shù)學（理科）試題參考答案

 

一、選擇題：ADBAA    BCCDB

二、填空題

11.;        12． ;          13．

14．（）③⑤  （）②⑤              15． （）；    （） 0

三、解答題：

16．解：（1）

                                                                …………5分

由成等比數(shù)列，知不是最大邊

                                                    …………6分

（2）由余弦定理

得ac=2                                                                                                        …………11分

=                                                                          …………12分

17.解：（Ⅰ）．

（Ⅱ）．

1當時，則．此時輪船更安全．

2當時，則．此時輪船和輪船一樣安全．

3當時，則．此時輪船更安全．

解：方法一

（Ⅰ）取的中點，連結，由知，又，故，所以即為二面角的平面角.

在△中，，，，

由余弦定理有

，

所以二面角的大小是.（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知道平面，故平面平面，故在平面上的射影一定在直線上，所以點到平面的距離即為△的邊上的高.

故.                             …（12分）

 

19．解: （Ⅰ）∵△ABC的邊長為2a，D在AB上，則a≤x≤2a，?

∵△ADE面積等于△ABC面積的一半，

∴x?AEsin60°＝?（2a）2，?

解得AE＝，?

在△ADE中，由余弦定理:?

y2＝x2＋?cos60°，?

∴y2＝x2＋－2a2

∴y＝  (a≤x≤2a)?

（Ⅱ）證明:∵y＝  (a≤x≤2a)，令x2＝t，則a2≤t≤4a2

且y＝，設f（t）＝t＋（a2≤t≤4a2）?

當t∈（a2，2a2）時，任取a2＜t1＜t2＜2a2，?

f（t1）－f（t2）＝（t1＋）－（t2＋）

＝（t1－t2）?，?

∵a2＜t1＜t2＜2a2?

∴t1t2＞0，t1－t2＞0，t1t2－4a4＜0?

∴f（t1）－f（t2）＞0，即f（t1）＞f（t2）?

∴f（x）在（a2，2a2）上是減函數(shù).?

同理可得，f（x）在（2a2，4a2）上是增函數(shù).?

又∵f（2a2）＝4a2，f（a2）＝f（4a2）＝5a2，當t＝2a2時，f（x）有最小值，即x＝a時，y有最小值，且ymin＝a，此時DE∥BC且AD＝a；當t＝a2或4a2時，f（x）有最大值，即x＝a或2a時，y有最大值，且ymax＝a，此時DE為AB或AC邊上的中線.?

 

20.解：（Ⅰ）∵，∴，

又∵，∴，

∴，

∴橢圓的標準方程為．                                      ………（3分）

當的斜率為0時，顯然=0，滿足題意，

當的斜率不為0時，設

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