題目列表(包括答案和解析)
1.C 2.A 3.C 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B 11.D 12.A
13. 14.arccos 15.B 16.①②③
17.解:解:(1)連結BD交AC于O,
∵E,F(xiàn)是正方形ABCD邊AD,AB的中點,AC⊥BD,
∴EF⊥AC.
∵AC∩GC=C,………6分
∴EF⊥平面GMC.
(2)可證BD∥平面EFG,,正方形中心O到平面EFG
………12分
18. 解:(1)∵PA=CA,F(xiàn)為PC的中點,
∴AF⊥PC. ………………2分
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.∴CD⊥PC.
∵E為PD中點,F(xiàn)為PC中點,∴EF∥CD.則EF⊥PC. ……5分
∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF.…… 6分
(2)證法一:
取AD中點M,連EM,CM.則EM∥PA.
∵EM 平面PAB,PA平面PAB,∴EM∥平面PAB. ………8分
在Rt△ACD中,∠CAD=60°,AC=AM=2,∴∠ACM=60°.而∠BAC=60°,
∴MC∥AB.
∵MC 平面PAB,AB平面PAB,∴MC∥平面PAB. …… 10分
∵EM∩MC=M,
∴平面EMC∥平面PAB.∵EC平面EMC,∴EC∥平面PAB.…… 12分
證法二:
延長DC、AB,設它們交于點N,連PN.
∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD,∴C為ND的中點. ……8分
∵E為PD中點,∴EC∥PN.……10分
∵EC 平面PAB,PN 平面PAB,∴EC∥平面PAB. ……… 12分
19.解 (1)由已知AB=4,AD=2,∠BAD=60°,
得BD2=AD2+AB2-2AD?ABcos60° =4+16-2×2×4×=12!郃B2=AD2+BD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,即AD⊥BD!3分
在△PDB中,PD=,PB=,BD=,
∴PB2=PD2+BD2,故得PD⊥BD。
又PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD。………6分
(2)∵BD⊥平面PAD,BD平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD!8分
作PE⊥AD于E,又PE平面PAD,∴PE⊥平面ABCD,
∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角,∴∠PDE=60°,
∴PE=PDsin60°=?=!10分
作EF⊥BC于F,連PF,則PF⊥BC,∴∠PFE是二面角P―BC―A的平面角。
又EF=BD=,∴在Rt△PEF中,
tan∠PFE===。
故二面角P―BC―A的大小為arctan。………12分
20.解 (1)∵D′―AE―B是直二面角,∴平面D′AE⊥平面ABCE。
作D′O⊥AE于O,連 OB,
∴D′O⊥平面ABCE。
∴∠D′BO是直線D′B與平面ABCE所成的角。
∵D′A=D′E=a,且D′O⊥AE于O,∠AD′E=90°
∴O是AE的中點,
AO=OE=D′O=a, ∠D′AE=∠BAO=45°!2分
∴在△OAB中,OB=
=
=a。
∴在直角△D′OB中,tan∠D′BO==!4分
(2)連結BE∵∠AED=∠BEC=45°,∴∠BEA=90°,即BE⊥AE于E。
∵D′O⊥平面ABCE,∴D′O⊥BE,………6分
∴BE⊥平面AD′E,∴BE⊥AD′!8分
(3)C點到平面AE D′的距離是B到平面AE D′的一半即BE=a………12分
21.解 (1)PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴PD⊥CD。
故∠PDA是平面PCD與平面ABCD所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=AD,∴∠PDA=45°!3分
(2)如圖7-14,取PD中點E,連結AE,EN,又M,N分別是AB,PC的中點,
∴EN∥CD∥AB ∴AMNE是平行四邊形 ∴MN∥AE。
在等腰Rt△PAD中,AE是斜邊的中線。 ∴AE⊥PD。
又CD⊥AD,CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AE,
又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD。 ∴MN⊥平面PCD!7分
(3)∵AD∥BC,∴∠PCB為異面直線PC,AD所成的角。
由三垂線定理知PB⊥BC,設AB=x(x>0)。∴tan∠PCB==。
又∵∈(0,∞),∴tan∠PCB∈(1,+∞)。
又∠PCB為銳角,∴∠PCB∈(,),
即異面直線PC,AD所成的角的范圍為(,)!12分
22.(1)證明:由四邊形為菱形,,可得為正三角形.
因為為的中點,所以.
又,因此.
因為平面,平面,所以.
而平面,平面且,
所以平面.又平面,
所以.………6分
(2)解:設,為上任意一點,連接.
由(1)知平面,
則為與平面所成的角.
在中,,
所以當最短時,最大,
即當時,最大.
此時,
因此.又,所以,
所以.因為平面,平面,
所以平面平面.
在中,,,
又是的中點,在中,,
又,在中,,
即所求二面角的余弦值為.………14分
本題也可以用向量法解:以為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系。
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