[例1]根據(jù)下列條件.求雙曲線的標準方程: (1) 與雙曲線有共同漸近線.且過點, (2)雙曲線的焦點在軸上.且過點和.P是雙曲線上異于A.B的任一點.ΔAPB的垂心H總在此雙曲線上. [解]:(1)設所求雙曲線方程為.將點代入得.所以雙曲線方程為. (2)設雙曲線方程為為雙曲線上任一點.BN.PM是ΔAPB的兩條高.則BN方程為 ① PM方程為 ② 又 ③ 得.又H在雙曲線上.∴ ④ ∴.所以雙曲線方程為． [例2]已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0).右頂點為. (1) 求雙曲線C的方程, (2) 若直線l:與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B.且(其中O為原點).求k的取值范圍. 解:(Ⅰ)設雙曲線方程為 由已知得 故雙曲線C的方程為 (Ⅱ)將 由直線l與雙曲線交于不同的兩點得 即 ① 設.則 而 于是 ② 由①.②得 故k的取值范圍為 提煉方法:求參數(shù)的取值范圍是個綜合性的問題,常用的方法有:Δ法,目標函數(shù)法,不等式法,幾何法,向量法等． [例3] 設點P到點M.N(1.0)距離之差為2m.到x軸.y軸距離之比為2.求m的取值范圍 分析:由|PM|-|PN|=2m.得||PM|-|PN||=2|m|．知點P的軌跡是雙曲線.由點P到x軸.y軸距離之比為2.知點P的軌跡是直線.由交軌法求得點P的坐標.進而可求得m的取值范圍 解:設點P的坐標為(x.y).依題意得=2. 即y=±2x(x≠0) ① 因此.點P(x.y).M.N(1.0)三點不共線. 從而得 ||PM|-|PN||<|MN|=2 ∵||PM|-|PN||=2|m|>0. ∴0<|m|<1 因此.點P在以M.N為焦點.實軸長為2|m|的雙曲線上 故-=1 ② 將①代入②.并解得x2=. ∵1-m2>0.∴1-5m2>0 解得0<|m|<. 即m的取值范圍為(-.0)∪(0.) 解題點評:解決此題的關鍵是用好雙曲線的定義,取值范圍的求法是-- [例4]已知雙曲線的離心率.左.右焦點分別的為.左準線為.能否在雙曲線的左支上找到一點P.使得是P到的距離與的等比中項. [解]:設在左半支上存在點P.使.由雙曲線的第二定義知.即 ① 再由雙曲線的第一定義.得 ② 由①②.解得: 由在Δ中有 . ③ 利用.從③式得 解得 .與已知矛盾. ∴符合條件的點P不存在. 思維點撥:利用定義及假設求出離心率的取值是關鍵. [研討．欣賞]已知橢圓C的方程為+=1(a>b>0).雙曲線-=1的兩條漸近線為l1.l2.過橢圓C的右焦點F作直線l.使l⊥l1.又l與l2交于P點.設l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A.B． (1)當l1與l2夾角為60°.雙曲線的焦距為4時.求橢圓C的方程, (2)當=λ時.求λ的最大值． 剖析:(1)求橢圓方程即求a.b的值.由l1與l2的夾角為60°易得=.由雙曲線的焦距為4易得a2+b2=4.進而可求得a.b． (2)由=λ.欲求λ的最大值.需求A.P的坐標.而P是l與l1的交點.故需求l的方程．將l與l2的方程聯(lián)立可求得P的坐標.進而可求得點A的坐標．將A的坐標代入橢圓方程可求得λ的最大值． 解:(1)∵雙曲線的漸近線為y=±x.兩漸近線夾角為60°.又<1. ∴∠POx=30°.即=tan30°=． ∴a=b． 又a2+b2=4. ∴a2=3.b2=1． 故橢圓C的方程為+y2=1． (2)由已知l:y=(x-c).與y=x解得P(.). 由=λ得A(.)．代入橢圓方程得 (c2+λa2)2+λ2a4=(1+λ)2a2c2． ∴(e2+λ)2+λ2=e2(1+λ)2． ∴λ2==-［(2-e2)+］+3≤3-2． ∴λ的最大值為-1． 評述:本題考查了橢圓.雙曲線的基礎知識.及向量.定比分點公式.重要不等式的應用．解決本題的難點是通過恒等變形.利用重要不等式解決問題的思想．本題是培養(yǎng)學生分析問題和解決問題能力的一道好題． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：與雙曲線有相同焦點，且經(jīng)過點（3，2）。

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