已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）試證數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）在數(shù)列{b_n}中，是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）①試證在數(shù)列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數(shù)r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r，s之間的關(guān)系．
②在數(shù)列{b_n}中，是否存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數(shù)r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數(shù)列？若存在，確定正整數(shù)r，s，t之間的關(guān)系；若不存在，說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f（x）=ax+lnx（其中e是自然界對(duì)數(shù)的底，a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g(x)=

ln|x|

|x|

，x∈[-e，0)，求證：當(dāng)a=-1時(shí)，f(x)＞g(x)+

1

2

；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)x∈[-e，0）時(shí)，f（x）的最小值是3？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)是F₂（2，0），且b=

3

a．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F₂的直線l的一個(gè)法向量為（m，1），當(dāng)直線l與雙曲線C的右支相交于A，B不同的兩點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；并證明AB中點(diǎn)M在曲線3（x-1）²-y²=3上．
（3）設(shè)（2）中直線l與雙曲線C的右支相交于A，B兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請(qǐng)求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

an+n-4，bn=(-1)n(an-3n+21)，
其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明：數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
（2）證明：當(dāng)λ≠18時(shí)，數(shù)列 {b_n} 是等比數(shù)列；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列 {b_n} 的前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．