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題目列表(包括答案和解析)

(本小題滿分12分)

第8屆中學(xué)生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行,為了搞好接待工作,組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者.將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖(單位:cm):

                       男             女

                               15    7  7  8  9  9  9

9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9

8  6  5  0   17    2  5  6

7  4  2  1   18    0 

1  0   19

若男生身高在180cm以上(包括180cm)定義為“高個子”, 在180cm以下(不包括180cm)定義為“非高個子”, 女生身高在170cm以上(包括170cm)定義為“高個子”,在170cm以下(不包括170cm)定義為“非高個子”.

(1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人,則應(yīng)分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人?

(2)從(1)中抽出的6人中選2人擔(dān)任領(lǐng)座員,那么至少有一人是“高個子”的概率是多少?

 

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(本小題滿分13分)

為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖),圖中從左到右各小長方形面積之比為2:4:17:15:9:3,第二小組頻數(shù)為12.

(Ⅰ)第二小組的頻率是多少?樣本容量是多少?

(Ⅱ)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標(biāo),試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達標(biāo)率是多少?(Ⅲ)在這次測試中,學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)、眾數(shù)各是是多少?(精確到0.1)

 

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(本小題滿分12分)

編號為的16名籃球運動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下:

運動員編號

得分

15

35

21

28

25

36

18

34

運動員編號

得分

17

26

25

33

22

12

31

38

(Ⅰ)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格;

區(qū)間

人數(shù)

 

 

 

(Ⅱ)從得分在區(qū)間內(nèi)的運動員中隨機抽取2人,

(i)用運動員的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;

(ii)求這2人得分之和大于50的概率.

 

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(本小題滿分12分)

    編號分別為的16名籃球運動員在某次比賽中得分記錄如下;

編號

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

得分

15

35

21

28

25

36

18

34

編號

A9

A10

A11

A12

A13

A14

A15

A16

得分

17

26

25

33

22

12

31

38

(Ⅰ)將得分在對應(yīng)區(qū)間的人數(shù)填入相應(yīng)的空格內(nèi):

區(qū)   間

人   數(shù)

 

 

 

(Ⅱ)從得分在區(qū)間內(nèi)的運動員中隨機抽取2人.

(1)用運動員編號列出所有可能的抽取結(jié)果;

(2)求這兩人得分之和大于50的概率.

 

 

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(本小題滿分12分)
第8屆中學(xué)生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行,為了搞好接待工作,組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者.將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖(單位:cm):
                       男             女
                               15    7  7  8  9  9  9
9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9
8  6  5  0   17    2  5  6
7  4  2  1   18    0 
1  0   19
若男生身高在180cm以上(包括180cm)定義為“高個子”, 在180cm以下(不包括180cm)定義為“非高個子”, 女生身高在170cm以上(包括170cm)定義為“高個子”,在170cm以下(不包括170cm)定義為“非高個子”.
(1)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人,則應(yīng)分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人?
(2)從(1)中抽出的6人中選2人擔(dān)任領(lǐng)座員,那么至少有一人是“高個子”的概率是多少?

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一、填空題

1. ;   2.;   3.;   4.;    5.

6.;      7.;   8.3;    9..   10.

11.;   12.;  13.;      14.

二、解答題

15.解:(1)由得:

由正弦定理知:  ,

(2),

由余弦定理知:

16.解:(Ⅰ)證明:取的中點,連接

因為是正三角形,

所以

是正三棱柱,

所以,所以

所以有

因為

所以;

(Ⅱ)的三等分點,

連結(jié),

,∴

, ∴

又∵,

平面

17.解 (Ⅰ)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),由P(x,y)在橢圓上,得

又由,

所以

   (Ⅱ) 當(dāng)時,點(,0)和點(-,0)在軌跡上.

當(dāng)時,由,得

,所以T為線段F2Q的中點.

在△QF1F2中,,所以有

綜上所述,點T的軌跡C的方程是

(Ⅲ) C上存在點M()使S=的充要條件是

由③得,由④得  所以,當(dāng)時,存在點M,使S=;

當(dāng)時,不存在滿足條件的點M.

當(dāng)時,,

,

,得

18.解:(1)(或)(

(2)

當(dāng)且僅當(dāng),即V=4立方米時不等式取得等號

所以,博物館支付總費用的最小值為7500元.

(3)解法1:由題意得不等式:

當(dāng)保護罩為正四棱錐形狀時,,代入整理得:,解得;

當(dāng)保護罩為正四棱柱形狀時,,代入整理得:,解得

又底面正方形面積最小不得少于,所以,底面正方形的面積最小可取1.4平方米

解法2. 解方程,即得兩個根為

由于函數(shù)上遞減,在上遞增,所以當(dāng)時,總費用超過8000元,所以V取得最小值 

由于保護罩的高固定為2米,所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱,正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的.所以當(dāng)保護罩為正四棱柱時,保護罩底面積最小, m2 

又底面正方形面積最小不得少于,,所以,底面正方形的面積最小可取1.4平方米

19.解:(Ⅰ)

當(dāng)為增函數(shù);

當(dāng)為減函數(shù),

可知有極大值為

(Ⅱ)欲使上恒成立,只需上恒成立,

設(shè)

由(Ⅰ)知,

(Ⅲ),由上可知上單調(diào)遞增,

  ①,

 同理  ②

兩式相加得

 

20.解:(1)證明:因為

所以

可化為:

當(dāng)且僅當(dāng)

 

(2)因為

 =

 =

又由可知 =

=

解之得  

故得所以

因此的通項公式為..

   (3)解:

所以

即S的最大值為

三、附加題

21A.(1)∵DE2=EF?EC,∴DE : CE=EF: ED.

          ∵ÐDEF是公共角,

          ∴ΔDEF∽ΔCED.  ∴ÐEDF=ÐC.

          ∵CD∥AP,    ∴ÐC=Ð P.

          ∴ÐP=ÐEDF.

(2)∵ÐP=ÐEDF,    ÐDEF=ÐPEA,

     ∴ΔDEF∽ΔPEA. ∴DE : PE=EF : EA.即EF?EP=DE?EA.

     ∵弦AD、BC相交于點E,∴DE?EA=CE?EB.∴CE?EB=EF?EP.

21B.法一:特殊點法

在直線上任取兩點(2、1)和(3、3),…………1分

?即得點  …………3 分

即得點

分別代入上得

則矩陣 …………6 分

     …………10 分

法二:通法

設(shè)為直線上任意一點其在M的作用下變?yōu)?sub>…………1分

…………3分

代入得:

其與完全一樣得

則矩陣         …………6分

           …………10分

21C法一:將直線方程化為,    ………4分

,                       ………6分

設(shè)動點P,M,則 ,    ………8分

,得;                        ………10分

法二:以極點為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系,

將直線方程化為,………………4分

設(shè)P,M,,………6分

又MPO三點共線, …………8分

轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.   ………10分

21D.證明:  ∵a、bc均為實數(shù).

)≥,當(dāng)a=b時等號成立;

)≥,當(dāng)b=c時等號成立;

)≥

三個不等式相加即得++++,

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.

22.解:(I)以O(shè)為原點,OB,OC,OA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0).

 cos<>

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角,故其余弦值是

(II),,

設(shè)平面ABE的法向量為,

則由,,得

取n=(1,2,2),

平面BEC的一個法向量為n2=(0,0,1),

由于二面角A-BE-C的平面角是n1與n2的夾角的補角,其余弦值是-

23.解:的所有可能取值有6,2,1,-2;

,

的分布列為:

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

 

(2)

(3)設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為,則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為

依題意,,即,解得 所以三等品率最多為

 


同步練習(xí)冊答案