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題目列表(包括答案和解析)

（本小題滿分12分）

第8屆中學(xué)生模擬聯(lián)合國大會將在本校舉行，為了搞好接待工作，組委會招募了12名男志愿者和18名女志愿者．將這30名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：

                       男             女

                               15    7  7  8  9  9  9

9  8   16    0  0  1  2  4  5  8  9

8  6  5  0   17    2  5  6

7  4  2  1   18    0 

1  0   19

若男生身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”， 在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”， 女生身高在170cm以上（包括170cm）定義為“高個子”，在170cm以下（不包括170cm）定義為“非高個子”．

（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取6人，則應(yīng)分別抽取“高個子”、“非高個子”各幾人？

（2）從（1）中抽出的6人中選2人擔(dān)任領(lǐng)座員，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？

 

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（本小題滿分12分）

編號為的16名籃球運(yùn)動員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下：

運(yùn)動員編號

得分

15

35

21

28

25

36

18

34

運(yùn)動員編號

得分

17

26

25

33

22

12

31

38

（Ⅰ）將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格；

區(qū)間

人數(shù)

 

 

 

（Ⅱ）從得分在區(qū)間內(nèi)的運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2人，

（i）用運(yùn)動員的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；

（ii）求這2人得分之和大于50的概率．

 

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（本小題滿分12分）

為調(diào)查某市學(xué)生百米運(yùn)動成績,從該市學(xué)生中按照男女生比例隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行百米測試，學(xué)生成績?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組，第二組……第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，根據(jù)有關(guān)規(guī)定，成績小于16秒為達(dá)標(biāo)．

（Ⅰ）用樣本估計(jì)總體，某班有學(xué)生45人,設(shè)為達(dá)標(biāo)人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望與方差；

（Ⅱ）如果男女生使用相同的達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn),則男女生達(dá)標(biāo)情況如右表：

根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”？若有，你能否提出一個更好的解決方法來？

附：   

 

 

性別

是否

達(dá)標(biāo)

男

女

合計(jì)

達(dá)標(biāo)

_____

_____

不達(dá)標(biāo)

___

_____

合計(jì)

______

______

 

 

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（本小題滿分12分）

某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組；第二組……第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

（I）若成績大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；

（II）設(shè)、表示該班某兩位同學(xué)的百米測試成績，且已知.

求事件“”的概率.

 

 

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（本小題滿分12分）

為調(diào)查某市學(xué)生百米運(yùn)動成績,從該市學(xué)生中按照男女生比例隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行百米測試，學(xué)生成績?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間，將測試結(jié)果按如下方式分成五組，第一組，第二組……第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)（精確到0．1）；

( II )根據(jù)有關(guān)規(guī)定，成績小于16秒為達(dá)標(biāo)．

(ⅰ)用樣本估計(jì)總體，某班有學(xué)生45人,設(shè)

為達(dá)標(biāo)人數(shù),求的數(shù)學(xué)期望與方差．

    (ⅱ)如果男女生使用相同的達(dá)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn),則男女

生達(dá)標(biāo)情況如下表

性別

是否達(dá)標(biāo)

男

女

合計(jì)

達(dá)標(biāo)

______

_____

不達(dá)標(biāo)

_____

_____

合計(jì)

______

______

 

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，能否有99%的把握認(rèn)為“體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)”？若有，你能否提出一個更好的解決方法來？

 

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一、填空題

1． ；   2．；   3．；   4．；    5．；

6．；      7．；   8．3；    9．．   10．

11．；   12．；  13．；      14．．

二、解答題

15．解：（1）由得：

，

由正弦定理知:  ，

（2），

由余弦定理知：

16．解：（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接

因?yàn)?sub>是正三角形，

所以

又是正三棱柱，

所以面，所以

所以有面

因?yàn)?sub>面

所以；

（Ⅱ）為的三等分點(diǎn)，．

連結(jié)，，

∵ ，∴ ．

∴ ， ∴

又∵面，面

∴ 平面

17．解 （Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y）,由P（x,y）在橢圓上，得

又由知，

所以

   （Ⅱ） 當(dāng)時，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（－，0）在軌跡上．

當(dāng)且時，由，得．

又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn)．

在△QF1F2中，，所以有

綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是

（Ⅲ） C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是

由③得，由④得  所以，當(dāng)時，存在點(diǎn)M，使S=；

當(dāng)時，不存在滿足條件的點(diǎn)M．

當(dāng)時，，

由，

，

，得

18．解：（1）（或）（）

（2）

當(dāng)且僅當(dāng)，即V=4立方米時不等式取得等號

所以，博物館支付總費(fèi)用的最小值為7500元．

（3）解法1：由題意得不等式：

當(dāng)保護(hù)罩為正四棱錐形狀時，，代入整理得：，解得；

當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱形狀時，，代入整理得：，解得

又底面正方形面積最小不得少于，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

解法2. 解方程，即得兩個根為

由于函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時，總費(fèi)用超過8000元，所以V取得最小值 

由于保護(hù)罩的高固定為2米，所以對于相等體積的正四棱錐與正四棱柱，正四棱柱的底面積是正四棱錐底面積的．所以當(dāng)保護(hù)罩為正四棱柱時，保護(hù)罩底面積最小， m2 

又底面正方形面積最小不得少于，，所以，底面正方形的面積最小可取1.4平方米

19．解：（Ⅰ）令得

當(dāng)為增函數(shù)；

當(dāng)為減函數(shù)，

可知有極大值為

（Ⅱ）欲使在上恒成立，只需在上恒成立，

設(shè)

由（Ⅰ）知，，

（Ⅲ），由上可知在上單調(diào)遞增，

  ①，

 同理  ②

兩式相加得

 

20．解：（1）證明：因?yàn)?sub>

所以即

可化為:

當(dāng)且僅當(dāng)即時

故 

（2）因?yàn)?sub>

 =

 =

又由可知 =

即 =

解之得  

故得所以

因此的通項(xiàng)公式為..

   （3）解：

所以

即S的最大值為

三、附加題

21A．（1）∵DE2=EF?EC，∴DE : CE=EF: ED．

          ∵ÐDEF是公共角，

          ∴ΔDEF∽ΔCED．  ∴ÐEDF=ÐC．

          ∵CD∥AP，    ∴ÐC=Ð P．

          ∴ÐP=ÐEDF．

（2）∵ÐP=ÐEDF，    ÐDEF=ÐPEA，

     ∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

     ∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP．

21B．法一：特殊點(diǎn)法

在直線上任取兩點(diǎn)（2、1）和（3、3），…………1分

則?即得點(diǎn)  …………3 分

即得點(diǎn)

將和分別代入上得

則矩陣 …………6 分

則     …………10 分

法二：通法

設(shè)為直線上任意一點(diǎn)其在M的作用下變?yōu)?sub>…………1分

則…………3分

代入得：

其與完全一樣得

則矩陣         …………6分

則           …………10分

21C．法一：將直線方程化為，    ………4分

，                       ………6分

設(shè)動點(diǎn)P，M，則 ，    ………8分

又 ，得；                        ………10分

法二：以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

將直線方程化為，………………4分

設(shè)P，M，，………6分

又MPO三點(diǎn)共線，， …………8分

轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程．   ………10分

21D．證明：  ∵a、b、c均為實(shí)數(shù)．

∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時等號成立；

（＋）≥≥，當(dāng)b=c時等號成立；

（＋）≥≥．

三個不等式相加即得++≥++，

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.

22．解：（I）以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

則有A（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，0）．

 cos<>．

由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，故其余弦值是．

（II），，

設(shè)平面ABE的法向量為，

則由，，得

取n＝（1，2，2），

平面BEC的一個法向量為n2＝（0，0，1），

．

由于二面角A－BE－C的平面角是n1與n2的夾角的補(bǔ)角，其余弦值是－．

23．解：的所有可能取值有6，2，1，-2；，

，

故的分布列為：

6

2

1

-2

0.63

0.25

0.1

0.02

 

（2）

（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時1件產(chǎn)品的平均利潤為

依題意，，即，解得 所以三等品率最多為

 


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