題型1:兩角和與差的三角函數(shù) 例1．已知.求cos. 分析:因?yàn)榧瓤煽闯墒强醋魇堑谋督?因而可得到下面的兩種解法. 解法一:由已知sin+sin=1----①. cos+cos=0----②. ①2+②2得 2+2cos, ∴ cos. ①2-②2得 cos2+cos2+2cos()=-1. 即2cos()()=-1. ∴. 解法二:由①得----③ 由②得----④ ④÷③得 點(diǎn)評(píng):此題是給出單角的三角函數(shù)方程.求復(fù)角的余弦值.易犯錯(cuò)誤是利用方程組解sin.cos . sin . cos.但未知數(shù)有四個(gè).顯然前景并不樂(lè)觀.其錯(cuò)誤的原因在于沒(méi)有注意到所求式與已知式的關(guān)系本題關(guān)鍵在于化和為積促轉(zhuǎn)化.“整體對(duì)應(yīng) 巧應(yīng)用. 例2．已知求. 分析:由韋達(dá)定理可得到進(jìn)而可以求出的值.再將所求值的三角函數(shù)式用tan表示便可知其值. 解法一:由韋達(dá)定理得tan. 所以tan 解法二:由韋達(dá)定理得tan. 所以tan . . 點(diǎn)評(píng):(1)本例解法二比解法一要簡(jiǎn)捷.好的解法來(lái)源于熟練地掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu).從而尋找解答本題的知識(shí)“最近發(fā)展區(qū) .(2)運(yùn)用兩角和與差角三角函數(shù)公式的關(guān)鍵是熟記公式.我們不僅要記住公式.更重要的是抓住公式的特征.如角的關(guān)系.次數(shù)關(guān)系.三角函數(shù)名等抓住公式的結(jié)構(gòu)特征對(duì)提高記憶公式的效率起到至關(guān)重要的作用.而且抓住了公式的結(jié)構(gòu)特征.有利于在解題時(shí)觀察分析題設(shè)和結(jié)論等三角函數(shù)式中所具有的相似性的結(jié)構(gòu)特征.聯(lián)想到相應(yīng)的公式.從而找到解題的切入點(diǎn).(3)對(duì)公式的逆用公式.變形式也要熟悉.如 題型2:二倍角公式 例3．化簡(jiǎn)下列各式: (1). (2). 分析:(1)若注意到化簡(jiǎn)式是開平方根和2以及其范圍不難找到解題的突破口,(2)由于分子是一個(gè)平方差.分母中的角.若注意到這兩大特征..不難得到解題的切入點(diǎn). 解析:(1)因?yàn)? 又因. 所以.原式=. (2)原式= =. 點(diǎn)評(píng):(1)在二倍角公式中.兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系.不僅限于2是的二倍.要熟悉多種形式的兩個(gè)角的倍數(shù)關(guān)系.同時(shí)還要注意三個(gè)角的內(nèi)在聯(lián)系的作用.是常用的三角變換.(2)化簡(jiǎn)題一定要找準(zhǔn)解題的突破口或切入點(diǎn).其中的降次.消元.切割化弦.異名化同名.異角化同角是常用的化簡(jiǎn)技巧.(3)公式變形.. 例4．若. 分析:注意的兩變換.就有以下的兩種解法. 解法一:由. 解法二:. 點(diǎn)評(píng):此題若將的左邊展開成再求cosx.sinx的值.就很繁瑣.把.并注意角的變換2·運(yùn)用二倍角公式.問(wèn)題就公難為易.化繁為簡(jiǎn)所以在解答有條件限制的求值問(wèn)題時(shí).要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系.一般方法是拼角與拆角. 如. . 等. 題型3:輔助角公式 例5．已知正實(shí)數(shù)a,b滿足. 分析:從方程 的觀點(diǎn)考慮.如果給等式左邊的分子.分母同時(shí)除以a.則已知等式可化為關(guān)于程.從而可求出由.若注意到等式左邊的分子.分母都具有的結(jié)構(gòu).可考慮引入輔助角求解. 解法一:由題設(shè)得 解法二: 解法三: 點(diǎn)評(píng):以上解法中.方法一用了集中變量的思想.是一種基本解法,解法二通過(guò)模式聯(lián)想.引入輔助角.技巧性較強(qiáng).但輔助角公式..或 在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的.應(yīng)加以關(guān)注,解法三利用了換元法.但實(shí)質(zhì)上是綜合了解法一和解法二的解法優(yōu)點(diǎn).所以解法三最佳. 例6．已知函數(shù)y＝cos2x+sinxcosx+1.x∈R. (1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí).求自變量x的集合, (2)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到? 解析:y＝cos2x+sinxcosx+1 ＝(2cos2x-1)++(2sinxcosx)+1 ＝cos2x+sin2x+ ＝(cos2x·sin+sin2x·cos)+ ＝sin(2x+)+ y取得最大值必須且只需2x+＝+2kπ.k∈Z. 即x＝+kπ.k∈Z. 所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí).自變量x的集合為{x|x＝+kπ.k∈Z}. (2)將函數(shù)y＝sinx依次進(jìn)行如下變換: ①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移.得到函數(shù)y＝sin(x+)的圖象, ②把得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍.得到函數(shù) y＝sin(2x+)的圖象, ③把得到的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍.得到函數(shù) y＝sin(2x+)的圖象, ④把得到的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度.得到函數(shù)y＝sin(2x+)+的圖象, 綜上得到函數(shù)y＝cos2x+sinxcosx+1的圖象. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).考查利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能以及運(yùn)算能力. 已知函數(shù)y＝sinx+cosx.x∈R. (1)當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí).求自變量x的集合, (2)該函數(shù)的圖象可由y＝sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到? 解析:(1)y＝sinx+cosx＝2(sinxcos+cosxsin)＝2sin(x+).x∈R y取得最大值必須且只需x+＝+2kπ.k∈Z. 即x＝+2kπ.k∈Z. 所以.當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí).自變量x的集合為{x|x＝+2kπ.k∈Z} (2)變換的步驟是: ①把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移.得到函數(shù)y＝sin(x+)的圖象, ②令所得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變.把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍.得到函數(shù) y＝2sin(x+)的圖象, 經(jīng)過(guò)這樣的變換就得到函數(shù)y＝sinx+cosx的圖象. 點(diǎn)評(píng):本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).利用三角公式進(jìn)行恒等變形的技能及運(yùn)算能力. 題型4:三角函數(shù)式化簡(jiǎn) 例7．求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值. 解析:原式＝++ ＝1++sin70°- ＝-sin70°sin30°+sin70° ＝-sin70°+sin70°＝. 點(diǎn)評(píng):本題考查三角恒等式和運(yùn)算能力. 例8．已知函數(shù). (Ⅰ)求的定義域, (Ⅱ)設(shè)的第四象限的角.且.求的值. 解析:(Ⅰ)由 得. 故在定義域?yàn)?(Ⅱ)因?yàn)?且是第四象限的角, 所以  故 . 題型5:三角函數(shù)求值 例9．設(shè)函數(shù)f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. (Ⅰ)求ω的值, (Ⅱ)如果f(x)在區(qū)間上的最小值為.求a的值. 解析:(I) 依題意得 ． 知.. 又當(dāng)時(shí)..故.從而在區(qū)間上的最小值為.故 例10．求函數(shù)＝2+的值域和最小正周期. 解析:y=cos(x+) cos(x-)+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+). ∴函數(shù)y=cos(x+) cos(x-)+sin2x的值域是[-2,2],最小正周期是π. 題型6:三角函數(shù)綜合問(wèn)題 例11．已知向量 (I)若求 (II)求的最大值. 解析:(1), 當(dāng)=1時(shí)有最大值,此時(shí).最大值為. 點(diǎn)評(píng):本題主要考察以下知識(shí)點(diǎn):1.向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0,2.特殊角的三角函數(shù)值,3.三角函數(shù)的基本關(guān)系以及三角函數(shù)的有界性,4.已知向量的坐標(biāo)表示求模.難度中等.計(jì)算量不大. 例12．設(shè)0<θ<.曲線x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4個(gè)不同的交點(diǎn). (1)求θ的取值范圍, (2)證明這4個(gè)交點(diǎn)共圓.并求圓半徑的取值范圍. 解析:(1)解方程組.得, 故兩條已知曲線有四個(gè)不同的交點(diǎn)的充要條件為.(0<θ<)0<θ<. (2)設(shè)四個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(xi.yi)(i=1.2.3.4).則:xi2+yi2=2cosθ∈(.2)(i=1.2.3.4). 故四個(gè)交點(diǎn)共圓.并且這個(gè)圓的半徑r=cosθ∈(). 點(diǎn)評(píng):本題注重考查應(yīng)用解方程組法處理曲線交點(diǎn)問(wèn)題.這也是曲線與方程的基本方法.同時(shí)本題也突出了對(duì)三角不等關(guān)系的考查. 題型7:三角函數(shù)的應(yīng)用 例13．有一塊扇形鐵板.半徑為R.圓心角為60°.從這個(gè)扇形中切割下一個(gè)內(nèi)接矩形.即矩形的各個(gè)頂點(diǎn)都在扇形的半徑或弧上.求這個(gè)內(nèi)接矩形的最大面積． 分析:本題入手要解決好兩個(gè)問(wèn)題. (1)內(nèi)接矩形的放置有兩種情況.如圖2-19所示.應(yīng)該分別予以處理, (2)求最大值問(wèn)題這里應(yīng)構(gòu)造函數(shù).怎么選擇便于以此表達(dá)矩形面積的自變量. 解析:如圖2-19(1)設(shè)∠FOA=θ.則FG＝Rsinθ. . . 又設(shè)矩形EFGH的面積為S.那么 又∵0°＜θ＜60°.故當(dāng)cos＝1.即θ=30′時(shí). 如圖2-19 (2).設(shè)∠FOA＝θ.則EF＝2Rsin.在△OFG中.∠OGF＝150° 設(shè)矩形的面積為S． 那么S＝EFFG＝4R2sinθsin ＝2R2［cos-cos30°] 又∵0＜θ＜30°.故當(dāng)cos＝1 . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，S（x）=
ax-a-x
2
，C（x）=
ax+a-x
2
，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是（　�。�
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）；②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
③C（x+y）=C（x）C（y）-S（x）S（y）；④C（x-y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）；
A、①③B、②④
C、①④D、①②③④

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類比“兩角和與差的正余弦公式”的形式，對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，S(x)=
ax-a-x
2
，C(x)=
ax+a-x
2
，其中a＞0，且a≠1，下面正確的運(yùn)算公式是
 
．
①S（x+y）=S（x）C（y）+C（x）S（y）； ②S（x-y）=S（x）C（y）-C（x）S（y）；
③C（x+y）=C（x）C（y）-S（x）S（y）； ④C（x-y）=C（x）C（y）+S（x）S（y）．

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閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀．（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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類比有關(guān)“兩角和與差的正弦、余弦公式”的形式，對(duì)給定的兩個(gè)函數(shù)S(x)=
ax-a-x
2
，C(x)=
ax+a-x
2
其中a＞0，且a≠1，請(qǐng)寫出一個(gè)關(guān)于S（x）和C（x）的運(yùn)算公式：
S（x+y）=S（x）C（y）+S（y）C（x），或S（x-y）=S（x）C（y）-S（y）C（x）等
S（x+y）=S（x）C（y）+S（y）C（x），或S（x-y）=S（x）C（y）-S（y）C（x）等
．

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閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（2）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用閱讀材料及（1）中的結(jié)論試判斷△ABC的形狀．

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