對(duì)于數(shù)列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項(xiàng)的符號(hào)，得到的新數(shù)列{a_n}稱(chēng)為數(shù)列{A_n}的一個(gè)生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列1，2，3，4，5的第二、三項(xiàng)的符號(hào)可以得到一個(gè)生成數(shù)列1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{a_n}為數(shù)列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）寫(xiě)出S₃的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足：S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）證明：對(duì)于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

對(duì)于數(shù)列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項(xiàng)的符號(hào)，得到的新數(shù)列{a_n}稱(chēng)為數(shù)列{A_n}的一個(gè)生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列1，2，3，4，5的第二、三項(xiàng)的符號(hào)可以得到一個(gè)生成數(shù)列1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{a_n}為數(shù)列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）寫(xiě)出S₃的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

對(duì)于數(shù)列{A_n}：A₁，A₂，A₃，…，A_n，若不改變A₁，僅改變A₂，A₃，…，A_n中部分項(xiàng)的符號(hào)，得到的新數(shù)列{a_n}稱(chēng)為數(shù)列{A_n}的一個(gè)生成數(shù)列．如僅改變數(shù)列1，2，3，4，5的第二、三項(xiàng)的符號(hào)可以得到一個(gè)生成數(shù)列1，-2，-3，4，5．已知數(shù)列{a_n}為數(shù)列{

1

2n

}(n∈N*)的生成數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）寫(xiě)出S₃的所有可能值；
（2）若生成數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1 2n ，n=3k+1 - 1 2n ，n≠3k+1

，k∈N，求S_n；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于給定的n∈N^*，S_n的所有可能值組成的集合為：{x|x=

2m-1

2n

，m∈N*，m≤2n-1}．

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=2^n-1，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，令集合A={a₁，a₂，…，a_n，…}，B={b₁，b₂，…，b_n，…}，n∈N^*．將集合A∪B中的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成的數(shù)列記為{c_n}．
（I）若c_n=n，n∈N^*，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若A∩B=Φ，且數(shù)列{c_n}的前5項(xiàng)成等比數(shù)列，c₁=1，c₉=8．
（i）求滿(mǎn)足

cn+1

cn

＞

5

4

的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)；
（ii）證明：存在無(wú)窮多組正整數(shù)對(duì)（m，n）使得不等式0＜|cn+1+cm-cn-cm+1|＜

1

100

成立．