題型1:隨機(jī)事件的定義 例1．判斷下列事件哪些是必然事件.哪些是不可能事件.哪些是隨機(jī)事件? (1)“拋一石塊.下落 . (2)“在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0℃時(shí).冰融化 , (3)“某人射擊一次.中靶 , (4)“如果a＞b,那么a-b＞0 ; (5)“擲一枚硬幣.出現(xiàn)正面 , (6)“導(dǎo)體通電后.發(fā)熱 , (7)“從分別標(biāo)有號(hào)數(shù)1.2.3.4.5的5張標(biāo)簽中任取一張.得到4號(hào)簽 , (8)“某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫 , (9)“沒有水份.種子能發(fā)芽 , (10)“在常溫下.焊錫熔化 ． 解析:根據(jù)定義.事件是必然事件,事件是不可能事件,事件是隨機(jī)事件. 點(diǎn)評(píng):熟悉必然事件.不可能事件.隨機(jī)事件的聯(lián)系與區(qū)別.針對(duì)不同的問題加以區(qū)分. 例2．(1)如果某種彩票中獎(jiǎng)的概率為.那么買1000張彩票一定能中獎(jiǎng)嗎?請(qǐng)用概率的意義解釋. 解析:不一定能中獎(jiǎng).因?yàn)?買1000張彩票相當(dāng)于做1000次試驗(yàn).因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的.即每張彩票可能中獎(jiǎng)也可能不中獎(jiǎng).因此.1000張彩票中可能沒有一張中獎(jiǎng).也可能有一張.兩張乃至多張中獎(jiǎng). 點(diǎn)評(píng):買1000張彩票.相當(dāng)于1000次試驗(yàn).因?yàn)槊看卧囼?yàn)的結(jié)果都是隨機(jī)的.所以做1000次試驗(yàn)的結(jié)果也是隨機(jī)的.也就是說.買1000張彩票有可能沒有一張中獎(jiǎng). (2)在一場乒乓球比賽前.裁判員利用抽簽器來決定由誰先發(fā)球.請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋其公平性. 解析:這個(gè)規(guī)則是公平的.因?yàn)槌楹炆蠏伜?紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5.因此任何一名運(yùn)動(dòng)員猜中的概率都是0.5.也就是每個(gè)運(yùn)動(dòng)員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5. 點(diǎn)評(píng):這個(gè)規(guī)則是公平的.因?yàn)槊總�(gè)運(yùn)動(dòng)員先發(fā)球的概率為0.5.即每個(gè)運(yùn)動(dòng)員取得先發(fā)球權(quán)的概率是0.5.事實(shí)上.只能使兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員取得先發(fā)球權(quán)的概率都是0.5的規(guī)則都是公平的. 題型2:頻率與概率 例3．某種菜籽在相同在相同的條件下發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果如下表: 種子粒數(shù) 2 5 10 70 130 310 700 1500 2000 3000 發(fā)芽粒數(shù) 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 解析:我們根據(jù)表格只能計(jì)算不同情況下的種子發(fā)芽的頻率分別是:1.0.8.0.9.0.857.0.892.0.910.0.913.0.893.0.903.0.905.隨著種子粒數(shù)的增加.菜籽發(fā)芽的頻率越接近于0.9.且在它附近擺動(dòng).故此種子發(fā)芽的概率為0.9. 點(diǎn)評(píng):我們可以用頻率的趨向近似值表示隨機(jī)事件發(fā)生的概率. 例4．進(jìn)行這樣的試驗(yàn):從0.1.2.-.9這十個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)10000次.將每次取得的數(shù)字依次記下來.我們就得到一個(gè)包括10000個(gè)數(shù)字的“隨機(jī)數(shù)表 ．在這個(gè)隨機(jī)數(shù)表里.可以發(fā)現(xiàn)0.1.2.-.9這十個(gè)數(shù)字中各個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在0.1附近．現(xiàn)在我們把一個(gè)隨機(jī)數(shù)表等分為10段.每段包括1000個(gè)隨機(jī)數(shù).統(tǒng)計(jì)每1000個(gè)隨機(jī)數(shù)中數(shù)字“7 出現(xiàn)的頻率.得到如下的結(jié)果: 段序:n=1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 出現(xiàn)“7 的頻數(shù) 95 88 95 112 95 99 82 89 111 102 出現(xiàn)“7 的頻率 0.095 0.088 0.095 0.112 0.095 0.099 0.082 0.089 0.111 0.102 由上表可見.每1000個(gè)隨機(jī)數(shù)中“7 出現(xiàn)的頻率也穩(wěn)定在0.1的附近．這就是頻率的穩(wěn)定性．我們把隨機(jī)事件A的頻率P(A)作為隨機(jī)事件A的概率P(A)的近似值. 點(diǎn)評(píng):利用概率的統(tǒng)計(jì)定義.在計(jì)算每一個(gè)隨機(jī)事件概率時(shí)都要通過大量重復(fù)的試驗(yàn).列出一個(gè)表格.從表格中找到某事件出現(xiàn)頻率的近似值作為所求概率.這從某種意義上說是很繁瑣的. 題型3:隨機(jī)事件間的關(guān)系 例5．(1)某戰(zhàn)士在打靶中.連續(xù)射擊兩次.事件“至少有一次中靶 的對(duì)立事件是( ) (A)至多有一次中靶 (B)兩次都中靶 (C)兩次都不中靶 (D)只有一次中靶 答案:C. 點(diǎn)評(píng):根據(jù)實(shí)際問題分析好對(duì)立事件與互斥事件間的關(guān)系. (2)把標(biāo)號(hào)為1.2.3.4的四個(gè)小球隨機(jī)地分發(fā)給甲.乙.丙.丁四個(gè)人.每人分得一個(gè).事件“甲分得1號(hào)球 與事件“乙分得1號(hào)球 是( ) (A)互斥但非對(duì)立事件 (B)對(duì)立事件 (C)相互獨(dú)立事件 (D)以上都不對(duì) 答案:A. 點(diǎn)評(píng):一定要區(qū)分開對(duì)立和互斥的定義.互斥事件:不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件,對(duì)立事件:不能同時(shí)發(fā)生.但必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件. 例6．甲.乙兩臺(tái)機(jī)床相互沒有影響地生產(chǎn)某種產(chǎn)品.甲機(jī)床產(chǎn)品的正品率是乙機(jī)床產(chǎn)品的正品率是. (I)從甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取3件.求其中恰有2件正品的概率, (II)從甲.乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中各任取1件.求其中至少有1件正品的概率. (I)解:任取甲機(jī)床的3件產(chǎn)品恰有2件正品的概率為 (II)解法一:記“任取甲機(jī)床的1件產(chǎn)品是正品 為事件A.“任取乙機(jī)床的1件產(chǎn)品是正品 為事件B.則任取甲.乙兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品各1件.其中至少有1件正品的概率為: 解法二:運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式.所求的概率為: 點(diǎn)評(píng):本小題考查互斥事件.相互獨(dú)立事件的概率等基礎(chǔ)知識(shí).及分析和解決實(shí)際問題的能力. 題型4:古典概率模型的計(jì)算問題 例7．從含有兩件正品a1.a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中.每次任取一件.每次取出后不放回.連續(xù)取兩次.求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率. 解析:每次取出一個(gè).取后不放回地連續(xù)取兩次.其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個(gè).即(a1.a2)和.(a1.b2).(a2.a1).(a2.b1).(b1.a1).(b2.a2).其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品.右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中.恰好有一件次品 這一事件. 則A=[(a1.b1).(a2.b1).(b1.a1).(b1.a2)]. 事件A由4個(gè)基本事件組成.因而.P(A)==. 點(diǎn)評(píng):利用古典概型的計(jì)算公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)所有的基本事件必須是互斥的,(2)m為事件A所包含的基本事件數(shù).求m值時(shí).要做到不重不漏. 例8．現(xiàn)有一批產(chǎn)品共有10件.其中8件為正品.2件為次品: (1)如果從中取出一件.然后放回.再取一件.求連續(xù)3次取出的都是正品的概率, (2)如果從中一次取3件.求3件都是正品的概率. 分析:為不返回抽樣. 解析:(1)有放回地抽取3次.按抽取順序記錄結(jié)果.則x,y,z都有10種可能.所以試驗(yàn)結(jié)果有10×10×10=103種,設(shè)事件A為“連續(xù)3次都取正品 .則包含的基本事件共有8×8×8=83種.因此.P(A)= =0.512. (2)解法1:可以看作不放回抽樣3次.順序不同.基本事件不同.按抽取順序記錄.則x有10種可能.y有9種可能.z有8種可能.所以試驗(yàn)的所有結(jié)果為10×9×8=720種．設(shè)事件B為“3件都是正品 .則事件B包含的基本事件總數(shù)為8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467. 解法2:可以看作不放回3次無順序抽樣.先按抽取順序記錄結(jié)果.則x有10種可能.y有9種可能.z有8種可能.但...是相同的.所以試驗(yàn)的所有結(jié)果有10×9×8÷6=120.按同樣的方法.事件B包含的基本事件個(gè)數(shù)為8×7×6÷6=56.因此P(B)= ≈0.467. 點(diǎn)評(píng):關(guān)于不放回抽樣.計(jì)算基本事件個(gè)數(shù)時(shí).既可以看作是有順序的.也可以看作是無順序的.其結(jié)果是一樣的.但不論選擇哪一種方式.觀察的角度必須一致.否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤. 題型5:利用排列組合知識(shí)解古典概型問題 例9．盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1.2.3.4的卡片各2張.從盒中任意任取3張.每張卡片被抽出的可能性都相等.求: (Ⅰ)抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4的概率, (Ⅱ)抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3的概念, (Ⅲ)抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同的概率. 解析:(I)“抽出的3張卡片上最大的數(shù)字是4 的事件記為A. 由題意得:, (II)“抽出的3張中有2張卡片上的數(shù)字是3 的事件記為B. 則, (III)“抽出的3張卡片上的數(shù)字互不相同 的事件記為C.“抽出的3張卡片上有兩個(gè)數(shù)字相同 的事件記為D.由題意.C與D是對(duì)立事件. 因?yàn)? 所以. 點(diǎn)評(píng):該題通過排列.組合知識(shí)完成了古典概型的計(jì)算問題.同時(shí)要做到所有的基本事件必須是互斥的.要做到不重不漏. 例10．在添加劑的搭配使用中.為了找到最佳的搭配方案.需要對(duì)各種不同的搭配方式作比較.在試制某種牙膏新品種時(shí).需要選用兩種不同的添加劑.現(xiàn)有芳香度分別為0.1.2.3.4.5的六種添加劑可供選用.根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)原理.通常首先要隨機(jī)選取兩種不同的添加劑進(jìn)行搭配試驗(yàn). (Ⅰ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率, (Ⅱ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率, 解析:設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4 的事件為A.“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3 的事件為B (Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2種:..故. (Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1種:,芳香度之和等于2的取法有1種:.故. 點(diǎn)評(píng):高考對(duì)概率內(nèi)容的考查.往往以實(shí)際應(yīng)用題出現(xiàn).這既是這類問題的特點(diǎn).也符合高考發(fā)展方向.考生要以課本概念和方法為主.以熟練技能.鞏固概念為目標(biāo).查找知識(shí)缺漏.總結(jié)解題規(guī)律. 題型6:易錯(cuò)題辨析 例11．?dāng)S兩枚骰子.求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率. 錯(cuò)解:擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和不同情況為{2.3.4.-.12}.故共有11種基本事件.所以概率為P=, 剖析:以上11種基本事件不是等可能的.如點(diǎn)數(shù)和2只有(1.1).而點(diǎn)數(shù)之和為6有.共5種．事實(shí)上.擲兩枚骰子共有36種基本事件.且是等可能的.所以“所得點(diǎn)數(shù)之和為6 的概率為P=. 我們經(jīng)常見的錯(cuò)里還有“投擲兩枚硬幣的結(jié)果 .劃分基本事件“兩正.一正一反.兩反 .其中“一正一反 與“兩正 .“兩反 的機(jī)會(huì)是不均等. 類型四:基本事件 “不可數(shù) 由概率求值公式.求某一事件發(fā)生的概率時(shí).要求試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè). 如果試驗(yàn)所包含的基本事件是無限多個(gè).那根本就不會(huì)得到基本事件的總數(shù).也就不能用公式來解決問題. 例12．(2000年天津.山西.江西高考試題) 甲.乙二人參加普法知識(shí)競賽.共有10個(gè)不同的題目.其中選擇題6個(gè).判斷題4個(gè).甲.乙二人一次各抽取一題. (1)甲抽到選擇題.乙抽到判斷題的概率是多少? 錯(cuò)解:甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè).乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是.故甲抽到選擇題.乙抽到判斷題的可能結(jié)果為,又甲.乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有.所以概率值為. 剖析:錯(cuò)把分步原理當(dāng)作分類原理來處理. 正解:甲從選擇題中抽到一題的可能結(jié)果有個(gè).乙從判斷題中抽到一題的的可能結(jié)果是.故甲抽到選擇題.乙抽到判斷題的可能結(jié)果為,又甲.乙二人一次各抽取一題的結(jié)果有.所以概率值為. (2)甲.乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是多少? 錯(cuò)解:甲.乙中甲抽到判斷題的種數(shù)是6×9種.乙抽到判斷題的種數(shù)6×9種.故甲.乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的種數(shù)為12×9,又甲.乙二人一次各抽取一題的種數(shù)是10×9.故甲.乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是. 剖析:顯然概率值不會(huì)大于1.這是錯(cuò)解.該問題對(duì)甲.乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的計(jì)數(shù)是重復(fù)的.兩人都抽取到選擇題這種情況被重復(fù)計(jì)數(shù). 正解:甲.乙二人一次各抽取一題基本事件的總數(shù)是10×9=90, 方法一:分類計(jì)數(shù)原理 (1)只有甲抽到了選擇題的事件數(shù)是:6×4=24, (2)只有乙抽到了選擇題的事件數(shù)是:6×4=24, (3)甲.乙同時(shí)抽到選擇題的事件數(shù)是:6×5=30, 故甲.乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是. 方法二:利用對(duì)立事件 事件“甲.乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題 與事件“甲.乙兩人都未抽到選擇題 是對(duì)立事件. 事件“甲.乙兩人都未抽到選擇題 的基本事件個(gè)數(shù)是4×3=12, 故甲.乙二人至少有一個(gè)抽到選擇題的概率是. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

下列事件中，隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是（　　）
①如果a、b是實(shí)數(shù)，那么b+a=a+b；
②某地1月1日刮西北風(fēng)；
③當(dāng)x是實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0；
④一個(gè)電影院栽天的上座率超過50%．

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下列事件：①連續(xù)兩次拋擲同一個(gè)骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)；
②明天下雨；     ③某人買彩票中獎(jiǎng)；
④從集合{1，2，3}中任取兩個(gè)元素，它們的和大于2；
⑤在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到90℃時(shí)會(huì)沸騰．其中是隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)有（　�。�

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下列事件中是隨機(jī)事件的共有（　　）
①如果a，b都是實(shí)數(shù)，那么ab=ba；
②從標(biāo)有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的小球中任意摸出一個(gè)小球，得到的號(hào)碼是奇數(shù)；
③買一萬張彩票能中獎(jiǎng)；
④1+8＞10．

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某學(xué)校舉辦一場以“為希望工程獻(xiàn)愛心”為主題的圖書義賣活動(dòng)，同學(xué)甲隨機(jī)地從10本書中買兩本，假設(shè)每本書被甲同學(xué)買走的概率相同，已知這10本書中有3本單價(jià)定為10元，4本單價(jià)定為15元，3本單價(jià)定為20元，記甲同學(xué)買這兩本書所付金額為ξ（元）．求：
（1）隨機(jī)變量ξ的分布列；
（2）隨機(jī)變量ξ的期望Eξ和方差Dξ．

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下列說法正確的是（　�。�

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