第八部分 靜電場

第一講 基本知識介紹

在奧賽考綱中，靜電學知識點數(shù)目不算多，總數(shù)和高考考綱基本相同，但在個別知識點上，奧賽的要求顯然更加深化了：如非勻強電場中電勢的計算、電容器的連接和靜電能計算、電介質(zhì)的極化等。在處理物理問題的方法上，對無限分割和疊加原理提出了更高的要求。

如果把靜電場的問題分為兩部分，那就是電場本身的問題、和對場中帶電體的研究，高考考綱比較注重第二部分中帶電粒子的運動問題，而奧賽考綱更注重第一部分和第二部分中的靜態(tài)問題。也就是說，奧賽關(guān)注的是電場中更本質(zhì)的內(nèi)容，關(guān)注的是縱向的深化和而非橫向的綜合。

一、電場強度

1、實驗定律

a、庫侖定律

內(nèi)容；

條件：⑴點電荷，⑵真空，⑶點電荷靜止或相對靜止。事實上，條件⑴和⑵均不能視為對庫侖定律的限制，因為疊加原理可以將點電荷之間的靜電力應(yīng)用到一般帶電體，非真空介質(zhì)可以通過介電常數(shù)將k進行修正（如果介質(zhì)分布是均勻和“充分寬廣”的，一般認為k′= k /ε_r）。只有條件⑶，它才是靜電學的基本前提和出發(fā)點（但這一點又是常常被忽視和被不恰當?shù)亍熬C合應(yīng)用”的）。

b、電荷守恒定律

c、疊加原理

2、電場強度

a、電場強度的定義

電場的概念；試探電荷（檢驗電荷）；定義意味著一種適用于任何電場的對電場的檢測手段；電場線是抽象而直觀地描述電場有效工具（電場線的基本屬性）。

b、不同電場中場強的計算

決定電場強弱的因素有兩個：場源（帶電量和帶電體的形狀）和空間位置。這可以從不同電場的場強決定式看出——

⑴點電荷：E = k

結(jié)合點電荷的場強和疊加原理，我們可以求出任何電場的場強，如——

⑵均勻帶電環(huán)，垂直環(huán)面軸線上的某點P：E = ，其中r和R的意義見圖7-1。

⑶均勻帶電球殼

內(nèi)部：E_內(nèi) = 0

外部：E_外 = k ，其中r指考察點到球心的距離

如果球殼是有厚度的的（內(nèi)徑R₁ 、外徑R₂），在殼體中（R₁＜r＜R₂）：

E =  ，其中ρ為電荷體密度。這個式子的物理意義可以參照萬有引力定律當中（條件部分）的“剝皮法則”理解〔即為圖7-2中虛線以內(nèi)部分的總電量…〕。

⑷無限長均勻帶電直線（電荷線密度為λ）：E = 

⑸無限大均勻帶電平面（電荷面密度為σ）：E = 2πkσ

二、電勢

1、電勢：把一電荷從P點移到參考點P₀時電場力所做的功W與該電荷電量q的比值，即

U = 

參考點即電勢為零的點，通常取無窮遠或大地為參考點。

和場強一樣，電勢是屬于場本身的物理量。W則為電荷的電勢能。

2、典型電場的電勢

a、點電荷

以無窮遠為參考點，U = k

b、均勻帶電球殼

以無窮遠為參考點，U_外 = k ，U_內(nèi) = k

3、電勢的疊加

由于電勢的是標量，所以電勢的疊加服從代數(shù)加法。很顯然，有了點電荷電勢的表達式和疊加原理，我們可以求出任何電場的電勢分布。

4、電場力對電荷做功

W_AB = q（U_A － U_B）= qU_AB 

三、靜電場中的導體

靜電感應(yīng)→靜電平衡（狹義和廣義）→靜電屏蔽

1、靜電平衡的特征可以總結(jié)為以下三層含義——

a、導體內(nèi)部的合場強為零；表面的合場強不為零且一般各處不等，表面的合場強方向總是垂直導體表面。

b、導體是等勢體，表面是等勢面。

c、導體內(nèi)部沒有凈電荷；孤立導體的凈電荷在表面的分布情況取決于導體表面的曲率。

2、靜電屏蔽

導體殼（網(wǎng)罩）不接地時，可以實現(xiàn)外部對內(nèi)部的屏蔽，但不能實現(xiàn)內(nèi)部對外部的屏蔽；導體殼（網(wǎng)罩）接地后，既可實現(xiàn)外部對內(nèi)部的屏蔽，也可實現(xiàn)內(nèi)部對外部的屏蔽。

四、電容

1、電容器

孤立導體電容器→一般電容器

2、電容

a、定義式 C = 

b、決定式。決定電容器電容的因素是：導體的形狀和位置關(guān)系、絕緣介質(zhì)的種類，所以不同電容器有不同的電容

⑴平行板電容器 C =  =  ，其中ε為絕對介電常數(shù)（真空中ε₀ =  ，其它介質(zhì)中ε= ），ε_r則為相對介電常數(shù)，ε_r =  。

⑵柱形電容器：C = 

⑶球形電容器：C = 

3、電容器的連接

a、串聯(lián)  = +++ … +

b、并聯(lián) C = C₁ + C₂ + C₃ + … + C_n 

4、電容器的能量

用圖7-3表征電容器的充電過程，“搬運”電荷做功W就是圖中陰影的面積，這也就是電容器的儲能E ，所以

E = q₀U₀ = C = 

電場的能量。電容器儲存的能量究竟是屬于電荷還是屬于電場？正確答案是后者，因此，我們可以將電容器的能量用場強E表示。

對平行板電容器 E_總 = E² 

認為電場能均勻分布在電場中，則單位體積的電場儲能 w = E² 。而且，這以結(jié)論適用于非勻強電場。

五、電介質(zhì)的極化

1、電介質(zhì)的極化

a、電介質(zhì)分為兩類：無極分子和有極分子，前者是指在沒有外電場時每個分子的正、負電荷“重心”彼此重合（如氣態(tài)的H₂ 、O₂ 、N₂和CO₂），后者則反之（如氣態(tài)的H₂O 、SO₂和液態(tài)的水硝基笨）

b、電介質(zhì)的極化：當介質(zhì)中存在外電場時，無極分子會變?yōu)橛袠O分子，有極分子會由原來的雜亂排列變成規(guī)則排列，如圖7-4所示。

2、束縛電荷、自由電荷、極化電荷與宏觀過剩電荷

a、束縛電荷與自由電荷：在圖7-4中，電介質(zhì)左右兩端分別顯現(xiàn)負電和正電，但這些電荷并不能自由移動，因此稱為束縛電荷，除了電介質(zhì)，導體中的原子核和內(nèi)層電子也是束縛電荷；反之，能夠自由移動的電荷稱為自由電荷。事實上，導體中存在束縛電荷與自由電荷，絕緣體中也存在束縛電荷和自由電荷，只是它們的比例差異較大而已。

b、極化電荷是更嚴格意義上的束縛電荷，就是指圖7-4中電介質(zhì)兩端顯現(xiàn)的電荷。而宏觀過剩電荷是相對極化電荷來說的，它是指可以自由移動的凈電荷。宏觀過剩電荷與極化電荷的重要區(qū)別是：前者能夠用來沖放電，也能用儀表測量，但后者卻不能。

第二講 重要模型與專題

一、場強和電場力

【物理情形1】試證明：均勻帶電球殼內(nèi)部任意一點的場強均為零。

【模型分析】這是一個疊加原理應(yīng)用的基本事例。

如圖7-5所示，在球殼內(nèi)取一點P ，以P為頂點做兩個對頂?shù)摹㈨斀呛苄〉腻F體，錐體與球面相交得到球面上的兩個面元ΔS₁和ΔS₂ ，設(shè)球面的電荷面密度為σ，則這兩個面元在P點激發(fā)的場強分別為

ΔE₁ = k

ΔE₂ = k

為了弄清ΔE₁和ΔE₂的大小關(guān)系，引進錐體頂部的立體角ΔΩ ，顯然

 = ΔΩ = 

所以 ΔE₁ = k ，ΔE₂ = k ，即：ΔE₁ = ΔE₂ ，而它們的方向是相反的，故在P點激發(fā)的合場強為零。

同理，其它各個相對的面元ΔS₃和ΔS₄ 、ΔS₅和ΔS₆ … 激發(fā)的合場強均為零。原命題得證。

【模型變換】半徑為R的均勻帶電球面，電荷的面密度為σ，試求球心處的電場強度。

【解析】如圖7-6所示，在球面上的P處取一極小的面元ΔS ，它在球心O點激發(fā)的場強大小為

ΔE = k ，方向由P指向O點。

無窮多個這樣的面元激發(fā)的場強大小和ΔS激發(fā)的完全相同，但方向各不相同，它們矢量合成的效果怎樣呢？這里我們要大膽地預(yù)見——由于由于在x方向、y方向上的對稱性，Σ = Σ = 0 ，最后的ΣE = ΣE_z ，所以先求

ΔE_z = ΔEcosθ= k ，而且ΔScosθ為面元在xoy平面的投影，設(shè)為ΔS′

所以 ΣE_z = ΣΔS′

而 ΣΔS′= πR² 

【答案】E = kπσ ，方向垂直邊界線所在的平面。

〖學員思考〗如果這個半球面在yoz平面的兩邊均勻帶有異種電荷，面密度仍為σ，那么，球心處的場強又是多少？

〖推薦解法〗將半球面看成4個球面，每個球面在x、y、z三個方向上分量均為 kπσ，能夠?qū)ΨQ抵消的將是y、z兩個方向上的分量，因此ΣE = ΣE_x …

〖答案〗大小為kπσ，方向沿x軸方向（由帶正電的一方指向帶負電的一方）。

【物理情形2】有一個均勻的帶電球體，球心在O點，半徑為R ，電荷體密度為ρ ，球體內(nèi)有一個球形空腔，空腔球心在O′點，半徑為R′，= a ，如圖7-7所示，試求空腔中各點的場強。

【模型分析】這里涉及兩個知識的應(yīng)用：一是均勻帶電球體的場強定式（它也是來自疊加原理，這里具體用到的是球體內(nèi)部的結(jié)論，即“剝皮法則”），二是填補法。

將球體和空腔看成完整的帶正電的大球和帶負電（電荷體密度相等）的小球的集合，對于空腔中任意一點P ，設(shè) = r₁ ， = r₂ ，則大球激發(fā)的場強為

E₁ = k = kρπr₁ ，方向由O指向P

“小球”激發(fā)的場強為

E₂ = k = kρπr₂ ，方向由P指向O′

E₁和E₂的矢量合成遵從平行四邊形法則，ΣE的方向如圖。又由于矢量三角形PE₁ΣE和空間位置三角形OP O′是相似的，ΣE的大小和方向就不難確定了。

【答案】恒為kρπa ，方向均沿O → O′，空腔里的電場是勻強電場。

〖學員思考〗如果在模型2中的OO′連線上O′一側(cè)距離O為b（b＞R）的地方放一個電量為q的點電荷，它受到的電場力將為多大？

〖解說〗上面解法的按部就班應(yīng)用…

〖答〗πkρq〔?〕。

二、電勢、電量與電場力的功

【物理情形1】如圖7-8所示，半徑為R的圓環(huán)均勻帶電，電荷線密度為λ，圓心在O點，過圓心跟環(huán)面垂直的軸線上有P點， = r ，以無窮遠為參考點，試求P點的電勢U_P 。

【模型分析】這是一個電勢標量疊加的簡單模型。先在圓環(huán)上取一個元段ΔL ，它在P點形成的電勢

ΔU = k

環(huán)共有段，各段在P點形成的電勢相同，而且它們是標量疊加。

【答案】U_P = 

〖思考〗如果上題中知道的是環(huán)的總電量Q ，則U_P的結(jié)論為多少？如果這個總電量的分布不是均勻的，結(jié)論會改變嗎？

〖答〗U_P =  ；結(jié)論不會改變。

〖再思考〗將環(huán)換成半徑為R的薄球殼，總電量仍為Q ，試問：（1）當電量均勻分布時，球心電勢為多少？球內(nèi)（包括表面）各點電勢為多少？（2）當電量不均勻分布時，球心電勢為多少？球內(nèi)（包括表面）各點電勢為多少？

〖解說〗（1）球心電勢的求解從略；

球內(nèi)任一點的求解參看圖7-5

ΔU₁ = k= k·= kσΔΩ

ΔU₂ = kσΔΩ

它們代數(shù)疊加成 ΔU = ΔU₁ + ΔU₂ = kσΔΩ

而 r₁ + r₂ = 2Rcosα

所以 ΔU = 2RkσΔΩ

所有面元形成電勢的疊加 ΣU = 2RkσΣΔΩ

注意：一個完整球面的ΣΔΩ = 4π（單位：球面度sr），但作為對頂?shù)腻F角，ΣΔΩ只能是2π ，所以——

ΣU = 4πRkσ= k

（2）球心電勢的求解和〖思考〗相同；

球內(nèi)任一點的電勢求解可以從（1）問的求解過程得到結(jié)論的反證。

〖答〗（1）球心、球內(nèi)任一點的電勢均為k ；（2）球心電勢仍為k ，但其它各點的電勢將隨電量的分布情況的不同而不同（內(nèi)部不再是等勢體，球面不再是等勢面）。

【相關(guān)應(yīng)用】如圖7-9所示，球形導體空腔內(nèi)、外壁的半徑分別為R₁和R₂ ，帶有凈電量+q ，現(xiàn)在其內(nèi)部距球心為r的地方放一個電量為+Q的點電荷，試求球心處的電勢。

【解析】由于靜電感應(yīng)，球殼的內(nèi)、外壁形成兩個帶電球殼。球心電勢是兩個球殼形成電勢、點電荷形成電勢的合效果。

根據(jù)靜電感應(yīng)的嘗試，內(nèi)壁的電荷量為－Q ，外壁的電荷量為+Q+q ，雖然內(nèi)壁的帶電是不均勻的，根據(jù)上面的結(jié)論，其在球心形成的電勢仍可以應(yīng)用定式，所以…

【答案】U_o = k － k + k 。

〖反饋練習〗如圖7-10所示，兩個極薄的同心導體球殼A和B，半徑分別為R_A和R_B ，現(xiàn)讓A殼接地，而在B殼的外部距球心d的地方放一個電量為+q的點電荷。試求：（1）A球殼的感應(yīng)電荷量；（2）外球殼的電勢。

〖解說〗這是一個更為復(fù)雜的靜電感應(yīng)情形，B殼將形成圖示的感應(yīng)電荷分布（但沒有凈電量），A殼的情形未畫出（有凈電量），它們的感應(yīng)電荷分布都是不均勻的。

此外，我們還要用到一個重要的常識：接地導體（A殼）的電勢為零。但值得注意的是，這里的“為零”是一個合效果，它是點電荷q 、A殼、B殼（帶同樣電荷時）單獨存在時在A中形成的的電勢的代數(shù)和，所以，當我們以球心O點為對象，有

U_O = k + k + k = 0

Q_B應(yīng)指B球殼上的凈電荷量，故 Q_B = 0

所以 Q_A = －q

☆學員討論：A殼的各處電勢均為零，我們的方程能不能針對A殼表面上的某點去列？（答：不能，非均勻帶電球殼的球心以外的點不能應(yīng)用定式�。�

基于剛才的討論，求B的電勢時也只能求B的球心的電勢（獨立的B殼是等勢體，球心電勢即為所求）——

U_B = k + k

〖答〗（1）Q_A = －q ；（2）U_B = k(1－) 。

【物理情形2】圖7-11中，三根實線表示三根首尾相連的等長絕緣細棒，每根棒上的電荷分布情況與絕緣棒都換成導體棒時完全相同。點A是Δabc的中心，點B則與A相對bc棒對稱，且已測得它們的電勢分別為U_A和U_B 。試問：若將ab棒取走，A、B兩點的電勢將變?yōu)槎嗌伲?/p>

【模型分析】由于細棒上的電荷分布既不均勻、三根細棒也沒有構(gòu)成環(huán)形，故前面的定式不能直接應(yīng)用。若用元段分割→疊加，也具有相當?shù)睦щy。所以這里介紹另一種求電勢的方法。

每根細棒的電荷分布雖然復(fù)雜，但相對各自的中點必然是對稱的，而且三根棒的總電量、分布情況彼此必然相同。這就意味著：①三棒對A點的電勢貢獻都相同（可設(shè)為U₁）；②ab棒、ac棒對B點的電勢貢獻相同（可設(shè)為U₂）；③bc棒對A、B兩點的貢獻相同（為U₁）。

所以，取走ab前  3U₁ = U_A

                 2U₂ + U₁ = U_B

取走ab后，因三棒是絕緣體，電荷分布不變，故電勢貢獻不變，所以

  U_A′= 2U₁

                 U_B′= U₁ + U₂

【答案】U_A′= U_A ；U_B′= U_A + U_B 。

〖模型變換〗正四面體盒子由彼此絕緣的四塊導體板構(gòu)成，各導體板帶電且電勢分別為U₁ 、U₂ 、U₃和U₄ ，則盒子中心點O的電勢U等于多少？

〖解說〗此處的四塊板子雖然位置相對O點具有對稱性，但電量各不相同，因此對O點的電勢貢獻也不相同，所以應(yīng)該想一點辦法——

我們用“填補法”將電量不對稱的情形加以改觀：先將每一塊導體板復(fù)制三塊，作成一個正四面體盒子，然后將這四個盒子位置重合地放置——構(gòu)成一個有四層壁的新盒子。在這個新盒子中，每個壁的電量將是完全相同的（為原來四塊板的電量之和）、電勢也完全相同（為U₁ + U₂ + U₃ + U₄），新盒子表面就構(gòu)成了一個等勢面、整個盒子也是一個等勢體，故新盒子的中心電勢為

U′= U₁ + U₂ + U₃ + U₄ 

最后回到原來的單層盒子，中心電勢必為 U =  U′

〖答〗U = （U₁ + U₂ + U₃ + U₄）。

☆學員討論：剛才的這種解題思想是否適用于“物理情形2”？（答：不行，因為三角形各邊上電勢雖然相等，但中點的電勢和邊上的并不相等。）

〖反饋練習〗電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面半徑為R ，CD為通過半球頂點C和球心O的軸線，如圖7-12所示。P、Q為CD軸線上相對O點對稱的兩點，已知P點的電勢為U_P ，試求Q點的電勢U_Q 。

〖解說〗這又是一個填補法的應(yīng)用。將半球面補成完整球面，并令右邊內(nèi)、外層均勻地帶上電量為q的電荷，如圖7-12所示。

從電量的角度看，右半球面可以看作不存在，故這時P、Q的電勢不會有任何改變。

而換一個角度看，P、Q的電勢可以看成是兩者的疊加：①帶電量為2q的完整球面；②帶電量為－q的半球面。

考查P點，U_P = k + U_半球面

其中 U_半球面顯然和為填補時Q點的電勢大小相等、符號相反，即 U_半球面= －U_Q 

以上的兩個關(guān)系已經(jīng)足以解題了。

〖答〗U_Q = k － U_P 。

【物理情形3】如圖7-13所示，A、B兩點相距2L ，圓弧是以B為圓心、L為半徑的半圓。A處放有電量為q的電荷，B處放有電量為－q的點電荷。試問：（1）將單位正電荷從O點沿移到D點，電場力對它做了多少功？（2）將單位負電荷從D點沿AB的延長線移到無窮遠處去，電場力對它做多少功？

【模型分析】電勢疊加和關(guān)系W_AB = q（U_A － U_B）= qU_AB的基本應(yīng)用。

U_O = k + k = 0

U_D = k + k = －

U_∞ = 0

再用功與電勢的關(guān)系即可。

【答案】（1）；（2）。 

【相關(guān)應(yīng)用】在不計重力空間，有A、B兩個帶電小球，電量分別為q₁和q₂ ，質(zhì)量分別為m₁和m₂ ，被固定在相距L的兩點。試問：（1）若解除A球的固定，它能獲得的最大動能是多少？（2）若同時解除兩球的固定，它們各自的獲得的最大動能是多少？（3）未解除固定時，這個系統(tǒng)的靜電勢能是多少？

【解說】第（1）問甚間；第（2）問在能量方面類比反沖裝置的能量計算，另啟用動量守恒關(guān)系；第（3）問是在前兩問基礎(chǔ)上得出的必然結(jié)論…（這里就回到了一個基本的觀念斧正：勢能是屬于場和場中物體的系統(tǒng)，而非單純屬于場中物體——這在過去一直是被忽視的。在兩個點電荷的環(huán)境中，我們通常說“兩個點電荷的勢能”是多少。）

【答】（1）k；（2）E_k1 = k ，E_k2 = k；（3）k 。

〖思考〗設(shè)三個點電荷的電量分別為q₁ 、q₂和q₃ ，兩兩相距為r₁₂ 、r₂₃和r₃₁ ，則這個點電荷系統(tǒng)的靜電勢能是多少？

〖解〗略。

〖答〗k（++）。

〖反饋應(yīng)用〗如圖7-14所示，三個帶同種電荷的相同金屬小球，每個球的質(zhì)量均為m 、電量均為q ，用長度為L的三根絕緣輕繩連接著，系統(tǒng)放在光滑、絕緣的水平面上�，F(xiàn)將其中的一根繩子剪斷，三個球?qū)㈤_始運動起來，試求中間這個小球的最大速度。

〖解〗設(shè)剪斷的是1、3之間的繩子，動力學分析易知，2球獲得最大動能時，1、2之間的繩子與2、3之間的繩子剛好應(yīng)該在一條直線上。而且由動量守恒知，三球不可能有沿繩子方向的速度。設(shè)2球的速度為v ，1球和3球的速度為v′，則

動量關(guān)系 mv + 2m v′= 0

能量關(guān)系 3k = 2 k + k + mv² + 2m

解以上兩式即可的v值。

〖答〗v = q 。

三、電場中的導體和電介質(zhì)

【物理情形】兩塊平行放置的很大的金屬薄板A和B，面積都是S ，間距為d（d遠小于金屬板的線度），已知A板帶凈電量+Q₁ ，B板帶盡電量+Q₂ ，且Q₂＜Q₁ ，試求：（1）兩板內(nèi)外表面的電量分別是多少；（2）空間各處的場強；（3）兩板間的電勢差。

【模型分析】由于靜電感應(yīng)，A、B兩板的四個平面的電量將呈現(xiàn)一定規(guī)律的分布（金屬板雖然很薄，但內(nèi)部合場強為零的結(jié)論還是存在的）；這里應(yīng)注意金屬板“很大”的前提條件，它事實上是指物理無窮大，因此，可以應(yīng)用無限大平板的場強定式。

為方便解題，做圖7-15，忽略邊緣效應(yīng)，四個面的電荷分布應(yīng)是均勻的，設(shè)四個面的電荷面密度分別為σ₁ 、σ₂ 、σ₃和σ₄ ，顯然

（σ₁ + σ₂）S = Q₁ 

（σ₃ + σ₄）S = Q₂ 

A板內(nèi)部空間場強為零，有 2πk（σ₁ ? σ₂ ? σ₃ ? σ₄）= 0

A板內(nèi)部空間場強為零，有 2πk（σ₁ + σ₂ + σ₃ ? σ₄）= 0

解以上四式易得 σ₁ = σ₄ = 

               σ₂ = ?σ₃ = 

有了四個面的電荷密度，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空間的場強就好求了〔如E_Ⅱ =2πk（σ₁ + σ₂ ? σ₃ ? σ₄）= 2πk〕。

最后，U_AB = E_Ⅱd

【答案】（1）A板外側(cè)電量、A板內(nèi)側(cè)電量，B板內(nèi)側(cè)電量?、B板外側(cè)電量；（2）A板外側(cè)空間場強2πk，方向垂直A板向外，A、B板之間空間場強2πk，方向由A垂直指向B，B板外側(cè)空間場強2πk，方向垂直B板向外；（3）A、B兩板的電勢差為2πkd，A板電勢高。

〖學員思考〗如果兩板帶等量異號的凈電荷，兩板的外側(cè)空間場強等于多少？（答：為零。）

〖學員討論〗（原模型中）作為一個電容器，它的“電量”是多少（答：）？如果在板間充滿相對介電常數(shù)為ε_r的電介質(zhì)，是否會影響四個面的電荷分布（答：不會）？是否會影響三個空間的場強（答：只會影響Ⅱ空間的場強）？

〖學員討論〗（原模型中）我們是否可以求出A、B兩板之間的靜電力？〔答：可以；以A為對象，外側(cè)受力·（方向相左），內(nèi)側(cè)受力·（方向向右），它們合成即可，結(jié)論為F = Q₁Q₂ ，排斥力�！�

【模型變換】如圖7-16所示，一平行板電容器，極板面積為S ，其上半部為真空，而下半部充滿相對介電常數(shù)為ε_r的均勻電介質(zhì)，當兩極板分別帶上+Q和?Q的電量后，試求：（1）板上自由電荷的分布；（2）兩板之間的場強；（3）介質(zhì)表面的極化電荷。

【解說】電介質(zhì)的充入雖然不能改變內(nèi)表面的電量總數(shù)，但由于改變了場強，故對電荷的分布情況肯定有影響。設(shè)真空部分電量為Q₁ ，介質(zhì)部分電量為Q₂ ，顯然有

Q₁ + Q₂ = Q

兩板分別為等勢體，將電容器看成上下兩個電容器的并聯(lián)，必有

U₁ = U₂ 即  =  ，即  = 

解以上兩式即可得Q₁和Q₂ 。

場強可以根據(jù)E = 關(guān)系求解，比較常規(guī)（上下部分的場強相等）。

上下部分的電量是不等的，但場強居然相等，這怎么解釋？從公式的角度看，E = 2πkσ（單面平板），當k 、σ同時改變，可以保持E不變，但這是一種結(jié)論所展示的表象。從內(nèi)在的角度看，k的改變正是由于極化電荷的出現(xiàn)所致，也就是說，極化電荷的存在相當于在真空中形成了一個新的電場，正是這個電場與自由電荷（在真空中）形成的電場疊加成為E₂ ，所以

E₂ = 4πk（σ ? σ′）= 4πk（ ? ）

請注意：①這里的σ′和Q′是指極化電荷的面密度和總量；② E = 4πkσ的關(guān)系是由兩個帶電面疊加的合效果。

【答案】（1）真空部分的電量為Q ，介質(zhì)部分的電量為Q ；（2）整個空間的場強均為 ；（3）Q 。

〖思考應(yīng)用〗一個帶電量為Q的金屬小球，周圍充滿相對介電常數(shù)為ε_r的均勻電介質(zhì)，試求與與導體表面接觸的介質(zhì)表面的極化電荷量。

〖解〗略。

〖答〗Q′= Q 。

四、電容器的相關(guān)計算

【物理情形1】由許多個電容為C的電容器組成一個如圖7-17所示的多級網(wǎng)絡(luò)，試問：（1）在最后一級的右邊并聯(lián)一個多大電容C′，可使整個網(wǎng)絡(luò)的A、B兩端電容也為C′？（2）不接C′，但無限地增加網(wǎng)絡(luò)的級數(shù)，整個網(wǎng)絡(luò)A、B兩端的總電容是多少？

【模型分析】這是一個練習電容電路簡化基本事例。

第（1）問中，未給出具體級數(shù)，一般結(jié)論應(yīng)適用特殊情形：令級數(shù)為1 ，于是

 +  =  解C′即可。

第（2）問中，因為“無限”，所以“無限加一級后仍為無限”，不難得出方程

 +  = 

【答案】（1）C ；（2）C 。

【相關(guān)模型】在圖7-18所示的電路中，已知C₁ = C₂ = C₃ = C₉ = 1μF ，C₄ = C₅ = C₆ = C₇ = 2μF ，C₈ = C₁₀ = 3μF ，試求A、B之間的等效電容。

【解說】對于既非串聯(lián)也非并聯(lián)的電路，需要用到一種“Δ→Y型變換”，參見圖7-19，根據(jù)三個端點之間的電容等效，容易得出定式——

Δ→Y型：C_a = 

          C_b = 

          C_c = 

Y→Δ型：C₁ = 

         C₂ = 

         C₃ = 

有了這樣的定式后，我們便可以進行如圖7-20所示的四步電路簡化（為了方便，電容不宜引進新的符號表達，而是直接將變換后的量值標示在圖中）——

【答】約2.23μF 。

【物理情形2】如圖7-21所示的電路中，三個電容器完全相同，電源電動勢ε₁ = 3.0V ，ε₂ = 4.5V，開關(guān)K₁和K₂接通前電容器均未帶電，試求K₁和K₂接通后三個電容器的電壓U_ao 、U_bo和U_co各為多少。

【解說】這是一個考查電容器電路的基本習題，解題的關(guān)鍵是要抓與o相連的三塊極板（俗稱“孤島”）的總電量為零。

電量關(guān)系：++= 0

電勢關(guān)系：ε₁ = U_ao + U_ob = U_ao ? U_bo 

          ε₂ = U_bo + U_oc = U_bo ? U_co 

解以上三式即可。

【答】U_ao = 3.5V ，U_bo = 0.5V ，U_co = ?4.0V 。

【伸展應(yīng)用】如圖7-22所示，由n個單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò)，每一個單元由三個電容器連接而成，其中有兩個的電容為3C ，另一個的電容為3C 。以a、b為網(wǎng)絡(luò)的輸入端，a′、b′為輸出端，今在a、b間加一個恒定電壓U ，而在a′b′間接一個電容為C的電容器，試求：（1）從第k單元輸入端算起，后面所有電容器儲存的總電能；（2）若把第一單元輸出端與后面斷開，再除去電源，并把它的輸入端短路，則這個單元的三個電容器儲存的總電能是多少？

【解說】這是一個結(jié)合網(wǎng)絡(luò)計算和“孤島現(xiàn)象”的典型事例。

（1）類似“物理情形1”的計算，可得 C_總 = C_k = C

所以，從輸入端算起，第k單元后的電壓的經(jīng)驗公式為 U_k = 

再算能量儲存就不難了。

（2）斷開前，可以算出第一單元的三個電容器、以及后面“系統(tǒng)”的電量分配如圖7-23中的左圖所示。這時，C₁的右板和C₂的左板（或C₂的下板和C₃的右板）形成“孤島”。此后，電容器的相互充電過程（C₃類比為“電源”）滿足——

電量關(guān)系：Q₁′= Q₃′

          Q₂′+ Q₃′= 

電勢關(guān)系：+  = 

從以上三式解得 Q₁′= Q₃′=  ，Q₂′=  ，這樣系統(tǒng)的儲能就可以用得出了。

【答】（1）E_k = ；（2） 。

〖學員思考〗圖7-23展示的過程中，始末狀態(tài)的電容器儲能是否一樣？（答：不一樣；在相互充電的過程中，導線消耗的焦耳熱已不可忽略。）

☆第七部分完☆

第十部分 磁場

第一講 基本知識介紹

《磁場》部分在奧賽考剛中的考點很少，和高考要求的區(qū)別不是很大，只是在兩處有深化：a、電流的磁場引進定量計算；b、對帶電粒子在復(fù)合場中的運動進行了更深入的分析。

一、磁場與安培力

1、磁場

a、永磁體、電流磁場→磁現(xiàn)象的電本質(zhì)

b、磁感強度、磁通量

c、穩(wěn)恒電流的磁場

*畢奧-薩伐爾定律（Biot-Savart law）：對于電流強度為I 、長度為dI的導體元段，在距離為r的點激發(fā)的“元磁感應(yīng)強度”為dB 。矢量式d= k，（d表示導體元段的方向沿電流的方向、為導體元段到考查點的方向矢量）；或用大小關(guān)系式dB = k結(jié)合安培定則尋求方向亦可。其中 k = 1.0×10^?7N/A² 。應(yīng)用畢薩定律再結(jié)合矢量疊加原理，可以求解任何形狀導線在任何位置激發(fā)的磁感強度。

畢薩定律應(yīng)用在“無限長”直導線的結(jié)論：B = 2k ；

*畢薩定律應(yīng)用在環(huán)形電流垂直中心軸線上的結(jié)論：B = 2πkI ；

*畢薩定律應(yīng)用在“無限長”螺線管內(nèi)部的結(jié)論：B = 2πknI 。其中n為單位長度螺線管的匝數(shù)。

2、安培力

a、對直導體，矢量式為 = I；或表達為大小關(guān)系式 F = BILsinθ再結(jié)合“左手定則”解決方向問題（θ為B與L的夾角）。

b、彎曲導體的安培力

⑴整體合力

折線導體所受安培力的合力等于連接始末端連線導體（電流不變）的的安培力。

證明：參照圖9-1，令MN段導體的安培力F₁與NO段導體的安培力F₂的合力為F，則F的大小為

F = 

  = BI

  = BI

關(guān)于F的方向，由于ΔFF₂P∽ΔMNO，可以證明圖9-1中的兩個灰色三角形相似，這也就證明了F是垂直MO的，再由于ΔPMO是等腰三角形（這個證明很容易），故F在MO上的垂足就是MO的中點了。

證畢。

由于連續(xù)彎曲的導體可以看成是無窮多元段直線導體的折合，所以，關(guān)于折線導體整體合力的結(jié)論也適用于彎曲導體。（說明：這個結(jié)論只適用于勻強磁場。）

⑵導體的內(nèi)張力

彎曲導體在平衡或加速的情形下，均會出現(xiàn)內(nèi)張力，具體分析時，可將導體在被考查點切斷，再將被切斷的某一部分隔離，列平衡方程或動力學方程求解。

c、勻強磁場對線圈的轉(zhuǎn)矩

如圖9-2所示，當一個矩形線圈（線圈面積為S、通以恒定電流I）放入勻強磁場中，且磁場B的方向平行線圈平面時，線圈受安培力將轉(zhuǎn)動（并自動選擇垂直B的中心軸OO′，因為質(zhì)心無加速度），此瞬時的力矩為

M = BIS

幾種情形的討論——

⑴增加匝數(shù)至N ，則 M = NBIS ；

⑵轉(zhuǎn)軸平移，結(jié)論不變（證明從略）；

⑶線圈形狀改變，結(jié)論不變（證明從略）；

*⑷磁場平行線圈平面相對原磁場方向旋轉(zhuǎn)α角，則M = BIScosα ，如圖9-3；

證明：當α = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有垂直轉(zhuǎn)軸的的分量Bcosα才能產(chǎn)生力矩…

⑸磁場B垂直O(jiān)O′軸相對線圈平面旋轉(zhuǎn)β角，則M = BIScosβ ，如圖9-4。

證明：當β = 90°時，顯然M = 0 ，而磁場是可以分解的，只有平行線圈平面的的分量Bcosβ才能產(chǎn)生力矩…

說明：在默認的情況下，討論線圈的轉(zhuǎn)矩時，認為線圈的轉(zhuǎn)軸垂直磁場。如果沒有人為設(shè)定，而是讓安培力自行選定轉(zhuǎn)軸，這時的力矩稱為力偶矩。

二、洛侖茲力

1、概念與規(guī)律

a、 = q，或展開為f = qvBsinθ再結(jié)合左、右手定則確定方向（其中θ為與的夾角）。安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)。

b、能量性質(zhì)

由于總垂直與確定的平面，故總垂直 ，只能起到改變速度方向的作用。結(jié)論：洛侖茲力可對帶電粒子形成沖量，卻不可能做功。或：洛侖茲力可使帶電粒子的動量發(fā)生改變卻不能使其動能發(fā)生改變。

問題：安培力可以做功，為什么洛侖茲力不能做功？

解說：應(yīng)該注意“安培力是大量帶電粒子所受洛侖茲力的宏觀體現(xiàn)”這句話的確切含義——“宏觀體現(xiàn)”和“完全相等”是有區(qū)別的。我們可以分兩種情形看這個問題：（1）導體靜止時，所有粒子的洛侖茲力的合力等于安培力（這個證明從略）；（2）導體運動時，粒子參與的是沿導體棒的運動v₁和導體運動v₂的合運動，其合速度為v ，這時的洛侖茲力f垂直v而安培力垂直導體棒，它們是不可能相等的，只能說安培力是洛侖茲力的分力f₁ = qv₁B的合力（見圖9-5）。

很顯然，f₁的合力（安培力）做正功，而f不做功（或者說f₁的正功和f₂的負功的代數(shù)和為零）。（事實上，由于電子定向移動速率v₁在10^?5m/s數(shù)量級，而v₂一般都在10^?2m/s數(shù)量級以上，致使f₁只是f的一個極小分量。）

☆如果從能量的角度看這個問題，當導體棒放在光滑的導軌上時（參看圖9-6），導體棒必獲得動能，這個動能是怎么轉(zhuǎn)化來的呢？

若先將導體棒卡住，回路中形成穩(wěn)恒的電流，電流的功轉(zhuǎn)化為回路的焦耳熱。而將導體棒釋放后，導體棒受安培力加速，將形成感應(yīng)電動勢（反電動勢）。動力學分析可知，導體棒的最后穩(wěn)定狀態(tài)是勻速運動（感應(yīng)電動勢等于電源電動勢，回路電流為零）。由于達到穩(wěn)定速度前的回路電流是逐漸減小的，故在相同時間內(nèi)發(fā)的焦耳熱將比導體棒被卡住時少。所以，導體棒動能的增加是以回路焦耳熱的減少為代價的。

2、僅受洛侖茲力的帶電粒子運動

a、⊥時，勻速圓周運動，半徑r =  ，周期T = 

b、與成一般夾角θ時，做等螺距螺旋運動，半徑r =  ，螺距d = 

這個結(jié)論的證明一般是將分解…（過程從略）。

☆但也有一個問題，如果將分解（成垂直速度分量B₂和平行速度分量B₁ ，如圖9-7所示），粒子的運動情形似乎就不一樣了——在垂直B₂的平面內(nèi)做圓周運動？

其實，在圖9-7中，B₁平行v只是一種暫時的現(xiàn)象，一旦受B₂的洛侖茲力作用，v改變方向后就不再平行B₁了。當B₁施加了洛侖茲力后，粒子的“圓周運動”就無法達成了。（而在分解v的處理中，這種局面是不會出現(xiàn)的。）

3、磁聚焦

a、結(jié)構(gòu)：見圖9-8，K和G分別為陰極和控制極，A為陽極加共軸限制膜片，螺線管提供勻強磁場。

b、原理：由于控制極和共軸膜片的存在，電子進磁場的發(fā)散角極小，即速度和磁場的夾角θ極小，各粒子做螺旋運動時可以認為螺距彼此相等（半徑可以不等），故所有粒子會“聚焦”在熒光屏上的P點。

4、回旋加速器

a、結(jié)構(gòu)&原理（注意加速時間應(yīng)忽略）

b、磁場與交變電場頻率的關(guān)系

因回旋周期T和交變電場周期T′必相等，故 =

c、最大速度 v_max = = 2πRf

5、質(zhì)譜儀

速度選擇器&粒子圓周運動，和高考要求相同。

第二講 典型例題解析

一、磁場與安培力的計算

【例題1】兩根無限長的平行直導線a、b相距40cm，通過電流的大小都是3.0A，方向相反。試求位于兩根導線之間且在兩導線所在平面內(nèi)的、與a導線相距10cm的P點的磁感強度。

【解說】這是一個關(guān)于畢薩定律的簡單應(yīng)用。解題過程從略。

【答案】大小為8.0×10^?6T ，方向在圖9-9中垂直紙面向外。

【例題2】半徑為R ，通有電流I的圓形線圈，放在磁感強度大小為B 、方向垂直線圈平面的勻強磁場中，求由于安培力而引起的線圈內(nèi)張力。

【解說】本題有兩種解法。

方法一：隔離一小段弧，對應(yīng)圓心角θ ，則弧長L = θR 。因為θ →

第二部分  牛頓運動定律

第一講 牛頓三定律

一、牛頓第一定律

1、定律。慣性的量度

2、觀念意義，突破“初態(tài)困惑”

二、牛頓第二定律

1、定律

2、理解要點

a、矢量性

b、獨立作用性：ΣF → a ，ΣF_x → a_x …

c、瞬時性。合力可突變，故加速度可突變（與之對比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測量手段”）。

3、適用條件

a、宏觀、低速

b、慣性系

對于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析

三、牛頓第三定律

1、定律

2、理解要點

a、同性質(zhì)（但不同物體）

b、等時效（同增同減）

c、無條件（與運動狀態(tài)、空間選擇無關(guān)）

第二講 牛頓定律的應(yīng)用

一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用

單獨應(yīng)用牛頓第一定律的物理問題比較少，一般是需要用其解決物理問題中的某一個環(huán)節(jié)。

應(yīng)用要點：合力為零時，物體靠慣性維持原有運動狀態(tài)；只有物體有加速度時才需要合力。有質(zhì)量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。

1、如圖1所示，在馬達的驅(qū)動下，皮帶運輸機上方的皮帶以恒定的速度向右運動�，F(xiàn)將一工件（大小不計）在皮帶左端A點輕輕放下，則在此后的過程中（      ）

A、一段時間內(nèi)，工件將在滑動摩擦力作用下，對地做加速運動

B、當工件的速度等于v時，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力

C、當工件相對皮帶靜止時，它位于皮帶上A點右側(cè)的某一點

D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對靜止的狀態(tài)

解說：B選項需要用到牛頓第一定律，A、C、D選項用到牛頓第二定律。

較難突破的是A選項，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣF_x → ∞ ，必然會出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對滑動？因為人是可以形變、重心可以調(diào)節(jié)的特殊“物體”）

此外，本題的D選項還要用到勻變速運動規(guī)律。用勻變速運動規(guī)律和牛頓第二定律不難得出

只有當L ＞ 時（其中μ為工件與皮帶之間的動摩擦因素），才有相對靜止的過程，否則沒有。

答案：A、D

思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= 0.2 ，g取10 m/s² ，試求工件到達皮帶右端的時間t（過程略，答案為5.5s）

進階練習：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v₀ ，其它條件不變，再求t（學生分以下三組進行）——

① v₀ = 1m/s  (答：0.5 + 37/8 = 5.13s)

② v₀ = 4m/s  (答：1.0 + 3.5 = 4.5s)

③ v₀ = 1m/s  (答：1.55s)

2、質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。試問：

① 如果在P處剪斷細繩，在剪斷瞬時，B的加速度是多少？

② 如果在Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時，B的加速度又是多少？

解說：第①問是常規(guī)處理。由于“彈簧不會立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。

第②問需要我們反省這樣一個問題：“彈簧不會立即發(fā)生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。但在Q點剪斷彈簧時，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質(zhì)量），遵從理想模型的條件，彈簧應(yīng)在一瞬間恢復(fù)原長！即彈簧彈力突變?yōu)榱恪?/p>

答案：0 ；g 。

二、牛頓第二定律的應(yīng)用

應(yīng)用要點：受力較少時，直接應(yīng)用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時，結(jié)合正交分解與“獨立作用性”解題。

在難度方面，“瞬時性”問題相對較大。

1、滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑，試求其加速度。

解說：受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應(yīng)用

答案：gsinθ。

思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對靜止，斜面應(yīng)具備一個多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應(yīng)注意區(qū)別。答：gtgθ。）

進階練習1：在一向右運動的車廂中，用細繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）

進階練習2、如圖4所示，小車在傾角為α的斜面上勻加速運動，車廂頂用細繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個穩(wěn)定的夾角β。試求小車的加速度。

解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但數(shù)學處理復(fù)雜了一些（正弦定理解三角形）。

分析小球受力后，根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應(yīng)的夾角。設(shè)張力T與斜面方向的夾角為θ，則

θ=（90°+ α）- β= 90°-（β-α）                 （1）

對灰色三角形用正弦定理，有

 =                                        （2）

解（1）（2）兩式得：ΣF = 

最后運用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）

答： 。

2、如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運動。斜面上用一條與斜面平行的細繩系一質(zhì)量為m的小球，當斜面加速度為a時（a＜ctgθ），小球能夠保持相對斜面靜止。試求此時繩子的張力T 。

解說：當力的個數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應(yīng)牛頓第二定律的“獨立作用性”列方程。

正交坐標的選擇，視解題方便程度而定。

解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程

ΣF_x = ma ，即T_x － N_x = ma

ΣF_y = 0 ， 即T_y + N_y = mg

代入方位角θ，以上兩式成為

T cosθ－N sinθ = ma                       （1）

T sinθ + Ncosθ = mg                       （2）

這是一個關(guān)于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ

解法二：下面嘗試一下能否獨立地解張力T 。將正交分解的坐標選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時，在分解受力時，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個坐標軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。

根據(jù)獨立作用性原理，ΣF_x = ma_x

即：T － G_x = ma_x

即：T － mg sinθ = m acosθ

顯然，獨立解T值是成功的。結(jié)果與解法一相同。

答案：mgsinθ + ma cosθ

思考：當a＞ctgθ時，張力T的結(jié)果會變化嗎？（從支持力的結(jié)果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒有意義。答：T = m 。）

學生活動：用正交分解法解本節(jié)第2題“進階練習2”

進階練習：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30°，但扶梯的臺階是水平的。當扶梯以a = 4m/s²的加速度向上運動時，站在扶梯上質(zhì)量為60kg的人相對扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s²，試求扶梯對人的靜摩擦力f 。

解：這是一個展示獨立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學生選擇兩種坐標（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對比解題過程，進而充分領(lǐng)會用牛頓第二定律解題的靈活性。

答：208N 。

3、如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知�，F(xiàn)將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時加速度。

解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。

（學生活動）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時釋放，會有什么現(xiàn)象？原因是什么？

結(jié)論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。

第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時調(diào)節(jié)”這一難點（從即將開始的運動來反推）。

知識點，牛頓第二定律的瞬時性。

答案：a_甲 = gsinθ ；a_乙 = gtgθ 。

應(yīng)用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當懸掛吊籃的細繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？

解：略。

答：2g ；0 。

三、牛頓第二、第三定律的應(yīng)用

要點：在動力學問題中，如果遇到幾個研究對象時，就會面臨如何處理對象之間的力和對象與外界之間的力問題，這時有必要引進“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時地運用牛頓第三定律。

在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過程簡化，使過程的物理意義更加明晰。

對N個對象，有N個隔離方程和一個（可能的）整體方程，這（N + 1）個方程中必有一個是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。

補充：當多個對象不具有共同的加速度時，一般來講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個局限（可以介紹推導過程）——

Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n

其中Σ只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。

1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個長為L的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣？

解說：截取隔離對象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。

答案：N = x 。

思考：如果水平面粗糙，結(jié)論又如何？

解：分兩種情況，（1）能拉動；（2）不能拉動。

第（1）情況的計算和原題基本相同，只是多了一個摩擦力的處理，結(jié)論的化簡也麻煩一些。

第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μMg ，其中l(wèi)＜L ，則x＜(L-l)的右段沒有張力，x＞(L-l)的左端才有張力。

答：若棒仍能被拉動，結(jié)論不變。

若棒不能被拉動，且F = μMg時（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質(zhì)量），當x＜(L-l)，N≡0 ；當x＞(L-l)，N = 〔x -〈L-l〉〕。

應(yīng)用：如圖13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個長方體滑塊，它們的質(zhì)量分別為m₁和m₂ ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ₁和μ₂ ，系統(tǒng)釋放后能夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為：

A、μ₁ m₁gcosθ ；    B、μ₂ m₁gcosθ ；

C、μ₁ m₂gcosθ ；    D、μ₁ m₂gcosθ ；

解：略。

答：B 。（方向沿斜面向上。）

思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v₀一起上沖，以上結(jié)論會變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v₀一起上沖，球應(yīng)對盒子的哪一側(cè)內(nèi)壁有壓力？

解：略。

答：（1）不會；（2）沒有；（3）若斜面光滑，對兩內(nèi)壁均無壓力，若斜面粗糙，對斜面上方的內(nèi)壁有壓力。

2、如圖15所示，三個物體質(zhì)量分別為m₁ 、m₂和m₃ ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計，繩子的質(zhì)量也不計，為使三個物體無相對滑動，水平推力F應(yīng)為多少？

解說：

此題對象雖然有三個，但難度不大。隔離m₂ ，豎直方向有一個平衡方程；隔離m₁ ，水平方向有一個動力學方程；整體有一個動力學方程。就足以解題了。

答案：F =  。

思考：若將質(zhì)量為m₃物體右邊挖成凹形，讓m₂可以自由擺動（而不與m₃相碰），如圖16所示，其它條件不變。是否可以選擇一個恰當?shù)腇′，使三者無相對運動？如果沒有，說明理由；如果有，求出這個F′的值。

解：此時，m₂的隔離方程將較為復(fù)雜。設(shè)繩子張力為T ，m₂的受力情況如圖，隔離方程為：

 = m₂a

隔離m₁ ，仍有：T = m₁a

解以上兩式，可得：a = g

最后用整體法解F即可。

答：當m₁ ≤ m₂時，沒有適應(yīng)題意的F′；當m₁ ＞ m₂時，適應(yīng)題意的F′=  。

3、一根質(zhì)量為M的木棒，上端用細繩系在天花板上，棒上有一質(zhì)量為m的貓，如圖17所示。現(xiàn)將系木棒的繩子剪斷，同時貓相對棒往上爬，但要求貓對地的高度不變，則棒的加速度將是多少？

解說：法一，隔離法。需要設(shè)出貓爪抓棒的力f ，然后列貓的平衡方程和棒的動力學方程，解方程組即可。

法二，“新整體法”。

據(jù)Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n ，貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度a₁ = 0 ，所以：

（ M + m ）g = m·0 + M a₁ 

解棒的加速度a₁十分容易。

答案：g 。

四、特殊的連接體

當系統(tǒng)中各個體的加速度不相等時，經(jīng)典的整體法不可用。如果各個體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。

解題思想：抓某個方向上加速度關(guān)系。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。、

1、如圖18所示，一質(zhì)量為M 、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。

解說：本題涉及兩個物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對兩者列隔離方程時，務(wù)必在這個方向上進行突破。

（學生活動）定型判斷斜面的運動情況、滑塊的運動情況。

位移矢量示意圖如圖19所示。根據(jù)運動學規(guī)律，加速度矢量a₁和a₂也具有這樣的關(guān)系。

（學生活動）這兩個加速度矢量有什么關(guān)系？

沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐標，可得：

a_1y = a_2y             ①

且：a_1y = a₂sinθ     ②

隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。

對滑塊，列y方向隔離方程，有：

mgcosθ- N = ma_1y     ③

對斜面，仍沿合加速度a₂方向列方程，有：

Nsinθ= Ma₂          ④

解①②③④式即可得a₂ 。

答案：a₂ =  。

（學生活動）思考：如何求a₁的值？

解：a_1y已可以通過解上面的方程組求出；a_1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma_1x ，得:a_1x = gsinθ 。最后據(jù)a₁ = 求a₁ 。

答：a₁ =  。

2、如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ，可以無摩擦地在棒上滑動，開始時與棒的A端相距b ，相對棒靜止。當棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運動，加速度為a（且a＞gtgθ）時，求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時間。

解說：這是一個比較特殊的“連接體問題”，尋求運動學參量的關(guān)系似乎比動力學分析更加重要。動力學方面，只需要隔離滑套C就行了。

（學生活動）思考：為什么題意要求a＞gtgθ？（聯(lián)系本講第二節(jié)第1題之“思考題”）

定性繪出符合題意的運動過程圖，如圖22所示：S表示棒的位移，S₁表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角坐標后，S_1x表示S₁在x方向上的分量。不難看出：

S_1x + b = S cosθ                   ①

設(shè)全程時間為t ，則有：

S = at²                          ②

S_1x = a_1xt²                        ③

而隔離滑套，受力圖如圖23所示，顯然：

mgsinθ= ma_1x                       ④

解①②③④式即可。

答案：t = 

另解：如果引進動力學在非慣性系中的修正式 Σ+ ^* = m （注：^*為慣性力），此題極簡單。過程如下——

以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖24所示。

注意，滑套相對棒的加速度a_相是沿棒向上的，故動力學方程為：

F^*cosθ- mgsinθ= ma_相            （1）

其中F^* = ma                      （2）

而且，以棒為參照，滑套的相對位移S_相就是b ，即：

b = S_相 = a_相 t²                 （3）

解（1）（2）（3）式就可以了。

第二講 配套例題選講

教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓練教材》，知識出版社，2002年8月第一版。

例題選講針對“教材”第三章的部分例題和習題。