15．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S1>1.且6Sn＝(an+1)(an+2).n∈N+. (1)求{an}的通項(xiàng)公式, (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(2bn-1)＝1.并記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和.求證:3Tn+1>log2(an+3).n∈N*. (1)解:由a1＝S1＝(a1+1)(a1+2).解得a1＝1或a1＝2.由已知a1＝S1>1.因此a1＝2. 又由an+1＝Sn+1-Sn＝(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2). 得(an+1+an)(an+1-an-3)＝0. 即an+1-an-3＝0或an+1＝-an.因an>0.故an+1＝-an不成立.舍去． 因此an+1-an＝3.從而{an}是公差為3.首項(xiàng)為2的等差數(shù)列.故{an}的通項(xiàng)為an＝3n-1. (2)證法一:由an(2bn-1)＝1可解得 bn＝log2＝log2, 從而Tn＝b1+b2+-+bn ＝log2. 因此3Tn+1-log2(an+3) ＝log2. 令f(n)＝3·. 則＝·3 ＝. 因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2＝9n+7>0.故f(n+1)>f(n)． 特別地f(n)≥f(1)＝>1.從而3Tn+1-log2(an+3)＝log2f(n)>0.即3Tn+1>log2(an+3)． 證法二:同證法一求得bn及Tn. 由二項(xiàng)式定理知.當(dāng)c>0時(shí).不等式(1+c)3>1+3c成立． 由此不等式有 3Tn+1＝log22(1+)3(1+)3-(1+)3 >log22 ＝log22···-·＝log2(3n+2)＝log2(an+3)． 證法三:同證法一求得bn及Tn. 令A(yù)n＝··-·.Bn＝··-·. Cn＝··-·. 因>>.因此A>AnBnCn＝. 從而3Tn+1＝log223＝log22A>log22AnBnCn＝log2(3n+2)＝log2(an+3)． 證法四:同證法一求得bn及Tn. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:3Tn+1>log2(an+3)． 當(dāng)n＝1時(shí).3T1+1＝log2.log2(a1+3)＝log25. 因此3T1+1>log2(a1+3).結(jié)論成立． 假設(shè)結(jié)論當(dāng)n＝k時(shí)成立.即3Tk+1>log2(ak+3). 則當(dāng)n＝k+1時(shí). 3Tk+1+1-log2(ak+1+3) ＝3Tk+1+3bk+1-log2(ak+1+3) >log2(ak+3)-log2(ak+1+3)+3bk+1 ＝log2. 因(3k+3)3-(3k+5)(3k+2)2＝9k+7>0.故 log2>0. 從而3Tk+1+1>log2(ak+1+3)．這就是說.當(dāng)n＝k+1時(shí)結(jié)論也成立． 綜上3Tn+1>log2(an+3)對(duì)任何n∈N*成立． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)（an，Sn）都在直線2x-y-1=0上．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若an2=2bn，設(shè)cn=
bnan
，求{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足S1＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*．
（1）求{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足an(2bn-1)=1，并記Tn為{bn}的前n項(xiàng)和，求證：3Tn+1＞log2（an+3），n∈N*．

查看答案和解析>>

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an=2
Sn
-1（n∈N*）．
（1）求an的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
，Pn=
1
S1S2
+
1
S2S3
+…+
1
SnSn_+1
，求2Tn-Pn，并確定最小的正整數(shù)n，使2Tn-Pn＞
13
5
．

查看答案和解析>>

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an，1成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若an2=2-bn，設(shè)Cn=
bnan
求數(shù)列{Cn}的前項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足Sn＞1，且6Sn=（an+1）（an+2），n∈N*
（Ⅰ）求a1；
（Ⅱ）證明{an}是等差數(shù)列并求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

查看答案和解析>>


同步練習(xí)冊(cè)答案