求棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的面對角線A1C1與AB1的距離. 解法一:連結BD1.取A1B1的中點E.連BE交AB1于M.連D1E交A1C1于N.連MN. 因為ΔA1NE∽ΔC1ND1.所以＝＝. 則＝.同理＝. ∵＝.∴MN∥BD1. 由三垂線定理知BD1與A1C1.AB1都垂直.故MN為兩對角線的公垂線. 又ΔEMN∽ΔEBD1 故＝＝.∴MN＝a. 解法二:取A1M＝.B1N＝.過N作NP⊥A1B1于P.連MP.則ΔMPN為直角三角形.由計算.PM＝a,PN＝a,故MN＝a.又A1N＝a.A1M＝a,故A1N2＝A1M2+MN2.于是MN⊥A1C1,同理.由AN＝a,AM＝a,MN＝a可知MN⊥AB1.故MN為AB1與A1C1的公垂線段.從而AB1與A1C1的距離為a. 解法三:可轉化為求平行平面間的距離.連A1D.C1D.A1C1.B1C.易知A1D∥B1C.A1C1∥AC.故平面A1DC1∥平面AB1C.連BD1.設與平面A1DC1交于M.與平面AB1C交于N.因BD1與圖中所示6條面對角線都垂直.故BD⊥面A1DC1.也垂直于AB1C.即MN是A1C1與AB1的距離.在RtΔD1DB中.D1M＝＝a.而同理可求BN＝a.故 MN＝a-a-a＝a. 說明 上例還可以利用直線與平面平行.體積轉換等方法求解. 【查看更多】

 

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