題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖,直三棱柱中,
、
分別為
、
的中點(diǎn),
平面
(I)證明:
(II)設(shè)二面角為60°,求
與平面
所成的角的大小。
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱A1B1C1—ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB.
D、E分別為棱C1C、B1C1的中點(diǎn).
(1)求二面角B—A1D—A的平面角余弦值;
(2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F,使得EF⊥平面A1BD?
若存在,確定其位置并證明結(jié)論;若不存在,說明理由.
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱中, AB=1,
,∠ABC=60
.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)求二面角A——B的大小。
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱ABC-AB
C
中,AC=BC, AA
=AB,D為BB
的中點(diǎn),E為AB
上的一點(diǎn),AE=3 EB
(Ⅰ)證明:DE為異面直線AB與CD的公垂線;
(Ⅱ)設(shè)異面直線AB
與CD的夾角為45°,求二面角A
-AC
-B
的大小
(本小題滿分12分)
如圖,直三棱柱ABC-AB
C
中,AC=BC, AA
=AB,D為BB
的中點(diǎn),E為AB
上的一點(diǎn),AE=3 EB
(Ⅰ)證明:DE為異面直線AB與CD的公垂線;
(Ⅱ)設(shè)異面直線AB
與CD的夾角為45°,求二面角A
-AC
-B
的大小
一.選擇題 1-5 6-10 11-12 BBDBC CBACC DA
二.填空題 13. 1 ; 14. 2; 15. ; 16. -1
三、解答題
17.解:(Ⅰ)由f(0)=,得
=
,∴
,則a=
.
由f()=
,得
+
-
=
,∴b=1,…………2分
∴f(x) =cos2x+sinxcosx -
=
cos2x+
sin2x=sin(2x+
).…………4分
(Ⅱ)由f(x)=sin(2x+).
又由+2kπ≤2x+
≤
+2kπ,得
+kπ≤x≤
+kπ,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[+kπ,
+kπ](k∈Z).?…………8分
(Ⅲ)∵f(x)=sin2(x+),
∴函數(shù)f(x)的圖象右移后對應(yīng)的函數(shù)可成為奇函數(shù).…………12分
18.解:(I)一次射擊后,三人射中目標(biāo)分別記為事件A1,A2,A3,
由題意知A1,A2,A3互相獨(dú)立,且,…………2分
.…………4分
∴一次射擊后,三人都射中目標(biāo)的概率是.…………5分
(Ⅱ)證明:一次射擊后,射中目標(biāo)的次數(shù)可能取值為0、1、2、3,相應(yīng)的沒有射中目標(biāo)的的次數(shù)可能取值為3、2、1、0,所以可能取值為1、3, …………6分
則)+
………8分
∴,………10分
∴
=
.………12分
19.解:(Ⅰ)連接A
∵AC⊥CB,∴BC⊥平面A
∴為
與平面A
.
∴與平面A
.…………3分
(Ⅱ)分別延長AC,A1D交于G. 過C作CM⊥A
∵BC⊥平面ACC
∴BM⊥A
平面A
∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,,
.……7分
即二面角B―A1D―A的大小為.……………………8分
(Ⅲ)取線段AC的中點(diǎn)F,則EF⊥平面A1BD.……………9分
證明如下:
∵A1B
∵由(Ⅰ)BC⊥平面A
∵EF在平面A
C
同理可證EF⊥BD,∴EF⊥平面A1BD.……………………12分
解法二:
(Ⅰ)同解法一……………………3分
(Ⅱ)∵A1B
AC⊥CB,D、E分別為C
建立如圖所示的坐標(biāo)系得:
C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),
C1(0,0,2), B1(2,0,2), A1(0,2,2),
D(0,0,1), E(1,0,2).………………6分
,設(shè)平面A1BD的法向量為
,
.…………6分
平面ACC=(1,0,0),
.………7分
即二面角B―A1D―A的大小為.…………………8分
(Ⅲ)F為AC上的點(diǎn),故可設(shè)其坐標(biāo)為(0,,0),∴
.
由(Ⅱ)知是平面A1BD的一個(gè)法向量,
欲使EF⊥平面A1BD,當(dāng)且僅當(dāng)//
.……10分
∴,∴當(dāng)F為AC的中點(diǎn)時(shí),EF⊥平面A1BD.…………………12分
20.解:(Ⅰ) 據(jù)題意:
,
.
兩式相減,有:,…………3分
.…………4分
又由=
解得
. …………5分
∴是以
為首項(xiàng),
為公比的等比數(shù)列,∴
.…………6分
(Ⅱ)
………8分
…………12分
21.解: (Ⅰ)依題意,由余弦定理得:
, ……2分
即
.
,即
. …………4分
(當(dāng)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)
共線時(shí)也符合上述結(jié)論)
動(dòng)點(diǎn)
的軌跡Q是以
為焦點(diǎn),實(shí)軸長為
的雙曲線.其方程為
.………6分
(Ⅱ)假設(shè)存在定點(diǎn),使
為常數(shù).
(1)當(dāng)直線不與
軸垂直時(shí),
設(shè)直線的方程為
,代入
整理得:
.…………7分
由題意知,.
設(shè),
,則
,
.…………8分
于是, …………9分
.…………10分
要使是與
無關(guān)的常數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)
,此時(shí)
.…11分
(2)當(dāng)直線與
軸垂直時(shí),可得點(diǎn)
,
,
當(dāng)時(shí),
.
故在軸上存在定點(diǎn)
,使
為常數(shù).…………12分
22.解:(Ⅰ)………1分
同理,令
∴f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為
.……………………3分
由此可知…………………………………………4分
(Ⅱ)由(I)可知當(dāng)時(shí),有
,
即.
.……………………………………………………………………7分
(Ⅲ)
設(shè)函數(shù)…………………………………10分
∴函數(shù))上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減.
∴的最小值為
,即總有
而
即
令則
……………………………………14分
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