(Ⅲ)解:設.由題意得.則的中點坐標為.設直線的方程為. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

設拋物線：（＞0）的焦點為，準線為，為上一點，已知以為圓心，為半徑的圓交于,兩點.

(Ⅰ)若,的面積為，求的值及圓的方程；

 (Ⅱ)若，，三點在同一條直線上，直線與平行，且與只有一個公共點，求坐標原點到，距離的比值.

【命題意圖】本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關(guān)系、點到直線距離公式、線線平行等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力.

【解析】設準線于軸的焦點為E，圓F的半徑為，

則|FE|=，=，E是BD的中點，

(Ⅰ) ∵，∴=，|BD|=，

設A(，)，根據(jù)拋物線定義得，|FA|=，

∵的面積為，∴===，解得=2，

∴F(0,1),  FA|=，  ∴圓F的方程為：；

(Ⅱ) 解析1∵，，三點在同一條直線上, ∴是圓的直徑，,

由拋物線定義知，∴，∴的斜率為或－，

∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=，

設直線的方程為：，代入得，，

∵與只有一個公共點， ∴=，∴，

∴直線的方程為：，∴原點到直線的距離=，

∴坐標原點到，距離的比值為3.

解析2由對稱性設，則

      點關(guān)于點對稱得：

     得：，直線

     切點

     直線

坐標原點到距離的比值為

 

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設點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標，從而使得

；

（2）當時，若，

求證：；

（3） 當時，某同學對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設，

分別過作拋物線的準線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設，分別過作拋物線的準線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設，分別過作

拋物線的準線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達式與點的縱坐標無關(guān)，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標（）滿足 ”，即：

“當時，若，且點的縱坐標（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設，

分別過作拋物線準線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱”，即：

“當時，若，且點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

 

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

 

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

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（本小題滿分14分）

　　已知：函數(shù)（），．

　�。�1）若函數(shù)圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；

　�。�2）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍；

　　（3）對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得不等式和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”。設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

 

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（本小題滿分14分）
　　已知：函數(shù)（），．
　�。�1）若函數(shù)圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；
　　（2）關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)的取值范圍；
　�。�3）對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得不等式和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”。設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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一、選擇題

1-5 BBAB 文B理A  6-10 ADCBC 11-12文B理D A

6.A 提示：設＝，則表示點與點（0，0）連線的斜率.當該直線kx－y＝0與圓相切時，取得最大值與最小值.圓心（2,0），由＝1，解得，∴的最大值為.11.(文) B 

11.(文) A       提示：拋物線的焦點為F（1，0），作PA垂直于準線x＝－1，則

｜PA｜＝｜PF｜，當A、P、Q在同一條直線上時，

｜PF｜＋｜PQ｜＝｜PA｜＋｜PQ｜＝｜AQ｜，

此時，點P到Q點距離與拋物線焦點距離之和取得最小值，

P點的縱坐標為－1，有1＝4x，x＝，此時P點坐標為（，－1），故選A。

11.（理） B提示：設則

又。

12.A    提示:如右圖所示,設點P的坐標為(x0,y0),由拋物線以F2為頂點,F1為焦點,可得其準線的方

程為x＝3c, 根據(jù)拋物線的定義可得|PF1|＝|PR|＝3c－x0,又由點P為雙曲線上的點,根據(jù)雙曲線的第二定義可得＝e, 即得|PF2|＝ex0－a, 由已知a|PF2|＋c|PF1|＝8a2，可得－a2＋3c2＝8a2,即e2＝3,由e＞1可得e＝, 故應選A.

二、填空題：13-16文理    3   35

 

 

 

 

 

 

九、實戰(zhàn)演習

一  選擇題

1．與圓相切，且在兩坐標軸上截距相等的直線共有 （   ）

A．2條          B.3條         C.4條        D.6條

1.C提示： 在兩坐標軸上截距相等的直線有兩類：①直線過原點時，有兩條與已知圓相切；②直線不過原點時，設其方程為，也有兩條與已知圓相切.易知①、②中四條切線互不相同，故選C.

2．在中，三內(nèi)角所對的邊是且成等差數(shù)列，那么直線與直線的位置關(guān)系是  （        ）

A.平行        B.重合       C.垂直      D.相交但不垂直

2.B提示：成等差數(shù)列，

又，

，故兩直線重合。選B。

3.已知函數(shù)，集合，集合，則集合的面積是      

A．             B．            C．            D．

3.D提示： 集合即為：，集合即為： ，其面積等于半圓面積。

4．（文）已知直線m：交x軸于M，E是直線m上的點，N(1，0)，又P在線段EN的垂直平分線上，且，則動點P的軌跡是(  )

A．圓   B．橢圓   C．雙曲線    D．拋物線

4．（文）D．

4．（理）已知P在雙曲線上變動，O是坐標原點，F(xiàn)是雙曲線的右焦點，則的重心G的軌跡方程是(  )

A．    B．

C．     D．

4．（理）C．提示：雙曲線焦點坐標是F(6，0)．設雙曲線上任一點P(x0，y0)， 的重心G(x，y)，則由重心公式，

得，解得，代入，得為所求．

5.已知是三角形的一個內(nèi)角，且，則方程表示（　　�。�

A.焦點在軸上的橢圓　　　　　B.焦點在軸上的橢圓

C.焦點在軸上的雙曲線　　　　D.焦點在軸上的雙曲線

5.B提示：由，又是三角形的一個內(nèi)角，故，

再由，

結(jié)合解得

。

故方程表示焦點在軸上的橢圓。選B。

或者結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線直接斷定。

6.過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于A、B兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�。� 　　 ）

A.有且僅有一條     B.有且僅有兩條      C.有無窮多條      D.不存在

6.B提示：該拋物線的通徑長為4，而這樣的弦AB的長為，故這樣的直線有且僅有兩條。選B。

或者（1）當該直線的斜率不存在時，它們的橫坐標之和等于2；

（2）當該直線的斜率存在時，設該直線方程為，代入拋物線方程得

，由。故這樣的直線有且僅有兩條。

7.一個橢圓中心在原點，焦點在軸上，（2，）是橢圓上一點，且成等差數(shù)列，則橢圓方程為　　　　　　　　　　　�。ā　　。�

A.     B.    C.     D.

7.A提示：設橢圓方程為，由成等差數(shù)列知，從而，故橢圓方程為，將P點的坐標代入得，故所求的橢圓方程為。選A。

8.以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)為頂點的三角形形狀為（  ）

A .直角三角形  B. 等腰三角形   C.非等腰三角形三角形   D.等邊三角形

8. B.提示：由兩點間距離公式，得，，故選B.

9. 若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是（�。�

A．，　  B．，   　　C．，　  D．，

9.D提示：特別注意的題目。將直線代入雙曲線方程得

若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點，則應滿足

。選D。

10. （文）設離心率為e的雙曲線的右焦點為F，直線過點F且斜率為K，則直線與雙曲線C左、右支都有相交的充要條件是（　�。�

Ａ．      Ｂ． 

Ｃ．      Ｄ．

10. （理）已知兩個點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”。給出下列直線①②③④。其中屬于“B型直線”的是（      ）

A、①③    B、①②     C、③④     D、①④

10. （文）C  提示：由已知設漸近線的斜率為于是

，即故選C；

10. （理）B 提示：理解為以M、N為焦點的雙曲線，則c=5, 又|PM|-|PN|=6，則a=3,b=4,幾何意義是雙曲線的右支，所謂“B型直線”即直線與雙曲線的右支有交點，又漸近線為：，逐一分析，只有①②與雙曲線右支有交點，故選B；

11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P在雙曲線上，且，則此雙曲線的離心率的最大值為   （   ）

A、      B、     C、     D、2

11.B提示：，由    又

∴ 故選B項。

12．若AB過橢圓 ＋ =1 中心的弦, F1為橢圓的焦點, 則△F1AB面積的最大值為(    ) 

A. 6   B.12   C.24   D.48

12.B提示：設AB的方程為，代入橢圓方程得，。選B。

二  填空題

13.橢圓M：=1 (a>b>0) 的左、右焦點分別為F1、F2，P為橢圓M上任一點，且 的最大值的取值范圍是[2c2，3c2]，其中. 則橢圓M的離心率e的取值范圍是         

13.

14. 1.1998年12月19日，太原衛(wèi)星發(fā)射中心為摩托羅拉公司（美國）發(fā)射了兩顆“銥星”系統(tǒng)通信衛(wèi)星.衛(wèi)星運行的軌道是以地球中心為一個焦點的橢圓，近地點為m km，遠地點為  n km，地球的半徑為R km，則通信衛(wèi)星運行軌道的短軸長等于         

           

14. 2提示：  －c=m+R， +c=n+R，

∴c=，b=2=2.

15. 已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x、y軸于A、B兩點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b，a>2，b>2，線段AB中點的軌跡方程是                               。

15. 提示：滿足(a-2)(b-2)=2。設AB的中點坐標為(x,y), 則a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)= (x>1,y>1)。

    16．以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中

①設A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，，則動點P的軌跡為雙曲線；

②過定圓C上一定點A作該圓的動弦AB，O為坐標原點，若則動點的軌跡為橢圓；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；

④雙曲線有相同的焦點.

其中真命題的序號為                 （寫出所有真命題的序號）

16. ③、④

三  解答題（７４分）

17. （本小題滿分12分）已知，直線：和圓：．

（1）求直線斜率的取值范圍；

（2）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什么？

解析：（1）直線的方程可化為，直線的斜率，因為，所以，當且僅當時等號成立．

所以，斜率的取值范圍是．

（2）不能．由（1）知的方程為，其中．

圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離．

由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對的圓心角小于．所以不能將圓分割成弧長的比值為的兩段�。�

18. （本小題滿分12分）已知A、B分別是橢圓的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求的值

18.解：（1）由題意知：

∴橢圓的標準方程為=1.        

（2）∵點C在橢圓上，A、B是橢圓的兩個焦點，

∴AC＋BC＝2a＝，AB＝2c＝2 .   

在△ABC中，由正弦定理，  ，

∴＝ .       

19．（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在原點,離心率為,一個焦點是(為大于0的常數(shù)).

 （1）求橢圓的方程;

 （2）設是橢圓上一點,且過點

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