如圖所示，正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁是由一個正三棱錐S-ABCD（底面為正方形，頂點在底面上的射影為底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁下底面邊長為2，上底面邊長為1，高為2．
（1）求四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；
（2）求正四棱錐S-ABCD的體積；
（3）證明：AA₁∥平面BDC₁．

某公司擬制造如圖所示的工件（長度單位：米），要求工件的體積為10立方米，其中工件的中間為長方體，上下兩端為相同的正四棱錐，其底面邊長AB=a，高PO=

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a．假設工件的制造費用僅與其表面積有關，已知正四棱柱側面每平方米制造費用為2千元，正四棱錐側面每平方米建造費用為4千元．設工件的制造費用為y千元．
（1）寫出y關于a的函數表達式，并求該函數的定義域；
（2）求該工件的制造費用最小時a的值．