給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到Ｆ的距離為．

（Ⅰ）求橢圓Ｃ的方程和其“準圓”方程；

（Ⅱ）點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，且分別交其“準圓”于點M，N ．

（1）當P為“準圓”與軸正半軸的交點時，求的方程；

（2）求證：|MN|為定值．

如圖，點A為圓形紙片內不同于圓心C的定點，動點M在圓周上，將紙片折起，使點M與點A重合，設折痕m交線段CM于點N．現將圓形紙片放在平面直角坐標系xoy中，設圓C：（x+1）²+y²=4a²（a＞1），A（1，0），記點N的軌跡為曲線E．
（1）證明曲線E是橢圓，并寫出當a=2時該橢圓的標準方程；
（2）設直線l過點C和橢圓E的上頂點B，點A關于直線l的對稱點為點Q，若橢圓E的離心率e∈[

1

2

，

3

2

]，求點Q的縱坐標的取值范圍．

已知函數．

（Ⅰ）當時，判斷函數在定義域上的單調性；

（Ⅱ）若函數與的圖象有兩個不同的交點，求的取值范圍；

（Ⅲ）設點是函數圖象上的兩點，平行于的切線以為切點，求證：．

 

如圖，橢圓為橢圓的左、右頂點．

（1）設為橢圓的左焦點，證明：當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值；

（2）若橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為l，求橢圓的標準方程；

（3）若直線與（2）中所述橢圓相交于、兩點（、不是左右頂點），且滿是，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．