已知函數(shù)f(x)在上有定義.且在上是增函數(shù).f(1)=0,又g(θ)=sin2θ-mcosθ-2m,θ∈[0,],設(shè)M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|f[g(θ)]<0},求M∩N.[學(xué)法指導(dǎo)]怎樣學(xué)好函數(shù)學(xué)習(xí)函數(shù)要重點(diǎn)解決好四個(gè)問題:準(zhǔn)確深刻地理解函數(shù)的有關(guān)概念,揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法,認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì).強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí).(一)準(zhǔn)確.深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).而函數(shù)是數(shù)學(xué)中最主要的概念之一.函數(shù)概念貫穿在中學(xué)代數(shù)的始終.數(shù).式.方程.函數(shù).排列組合.數(shù)列極限等是以函數(shù)為中心的代數(shù).近十年來.高考試題中始終貫穿著函數(shù)及其性質(zhì)這條主線.(二)揭示并認(rèn)識(shí)函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.函數(shù)是研究變量及相互聯(lián)系的數(shù)學(xué)概念.是變量數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式.方程.不等式.數(shù)列.曲線與方程等內(nèi)容.在利用函數(shù)和方程的思想進(jìn)行思維中.動(dòng)與靜.變量與常量如此生動(dòng)的辯證統(tǒng)一.函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式.所謂函數(shù)觀點(diǎn).實(shí)質(zhì)是將問題放到動(dòng)態(tài)背景上去加以考慮.高考試題涉及5個(gè)方面:(1)原始意義上的函數(shù)問題,(2)方程.不等式作為函數(shù)性質(zhì)解決,(3)數(shù)列作為特殊的函數(shù)成為高考熱點(diǎn),集合與映射.作為基本語言和工具出現(xiàn)在試題中.(三)把握數(shù)形結(jié)合的特征和方法函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合.有效地揭示了各類函數(shù)和定義域.值域.單調(diào)性.奇偶性.周期性等基本屬性.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法.為此.既要從定形.定性.定理.定位各方面精確地觀察圖形.繪制圖形.又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換.對(duì)稱變換.(四)認(rèn)識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì).強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系與變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象.抽象數(shù)量特征.建立函數(shù)關(guān)系.求得問題的解決.縱觀近幾年高考題.考查函數(shù)思想方法尤其是應(yīng)用題力度加大.因此一定要認(rèn)識(shí)函數(shù)思想實(shí)質(zhì).強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí). 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知函數(shù)f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定義,且在(0,+∞)上是增函數(shù),f(1)=0,又g(θ)=sin2θmcosθ-2m,θ∈[0,],設(shè)M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|fg(θ)]<0},求MN.

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已知函數(shù)f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有定義,且在(0,+∞)上是增函數(shù),f(1)=0,又g(θ)=sin2θmcosθ-2m,θ∈[0,],設(shè)M={m|g(θ)<0,m∈R},N={m|fg(θ)]<0},求MN.

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已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明:

(1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.

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已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明:

(1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減

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已知函數(shù)f(x)在(-1,1)上有定義,f()=-1,當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時(shí)f(x)<0,且對(duì)任意x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明:
(1)f(x)為奇函數(shù);
(2)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減.

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難點(diǎn)磁場(chǎng)

(1)證明:令x=y=0,得f(0)=0

y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)

f(x)是奇函數(shù)

(2)解:1°,任取實(shí)數(shù)x1x2∈[-9,9]且x1x2,這時(shí),x2x1>0,f(x1)-f(x2)=f[(x1x2)+x2]-f(x2)=f(x1x2)+f(x2)-f(x1)=-f(x2x1)

因?yàn)?i>x>0時(shí)f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)>0

f(x)在[-9,9]上是減函數(shù)

f(x)的最大值為f(-9),最小值為f(9).

f(9)=f(3+3+3)=3f(3)=-12,f(-9)=-f(9)=12.

f(x)在區(qū)間[-9,9]上的最大值為12,最小值為-12.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析:分類討論當(dāng)a>1時(shí)和當(dāng)0<a<1時(shí).

答案:C

2.解析:用特值法,根據(jù)題意,可設(shè)f(x)=x,g(x)=|x|,又設(shè)a=2,b=1,

f(a)=a,g(a)=|a|,f(b)=b,g(b)=|b|,f(a)-f(b)=f(2)-f(-1)=2+1=3.

g(b)-g(-a)=g(1)-g(-2)=1-2=-1.∴f(a)-f(-b)>g(1)-g(-2)=1-2=-1.

f(b)-f(-a)=f(1)-f(-2)=1+2=3.

g(a)-g(-b)=g(2)-g(1)=2-1=1,∴f(b)-f(-a)=g(a)-g(-b).

即①與③成立.

答案:C

二、3.解析:設(shè)2x=t>0,則原方程可變?yōu)?i>t2+at+a+1=0                                             ①

方程①有兩個(gè)正實(shí)根,則6ec8aac122bd4f6e

解得:a∈(-1,2-26ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

答案:(-1,2-26ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

三、4.解:(1)當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),此時(shí)f(x)為偶函數(shù);當(dāng)a≠0時(shí),f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a).此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶

函數(shù).

(2)①當(dāng)xa時(shí),函數(shù)f(x)=x2x+a+1=(x6ec8aac122bd4f6e)2+a+6ec8aac122bd4f6e,若a6ec8aac122bd4f6e,則函數(shù)f(x)在(-∞,a6ec8aac122bd4f6e上單調(diào)遞減,從而,函數(shù)f(x)在(-∞,a6ec8aac122bd4f6e上的最小值為f(a)=a2+1.

a>6ec8aac122bd4f6e,則函數(shù)f(x)在(-∞,a6ec8aac122bd4f6e上的最小值為f(6ec8aac122bd4f6e)=6ec8aac122bd4f6e+a,且f(6ec8aac122bd4f6e)≤f(a).?

②當(dāng)xa時(shí),函數(shù)f(x)=x2+xa+1=(x+6ec8aac122bd4f6e)2a+6ec8aac122bd4f6e;當(dāng)a≤-6ec8aac122bd4f6e時(shí),則函數(shù)f(x)在[a,+∞6ec8aac122bd4f6e上的最小值為f(-6ec8aac122bd4f6e)=6ec8aac122bd4f6ea,且f(-6ec8aac122bd4f6e)≤f(a).若a>-6ec8aac122bd4f6e,?則函數(shù)f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增,從而,函數(shù)f(x)在[a,+∞]上的最小值為f(a)=a2+1.

綜上,當(dāng)a≤-6ec8aac122bd4f6e時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是6ec8aac122bd4f6ea,當(dāng)-6ec8aac122bd4f6ea6ec8aac122bd4f6e時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是a2+1;當(dāng)a>6ec8aac122bd4f6e時(shí),函數(shù)f(x)的最小值是a+6ec8aac122bd4f6e.

5.(1)證明:由6ec8aac122bd4f6ef(x)的定義域?yàn)?-1,1),易判斷f(x)在(-1,1)內(nèi)是減函數(shù).

(2)證明:∵f(0)=6ec8aac122bd4f6e,∴f-1(6ec8aac122bd4f6e)=0,即x=6ec8aac122bd4f6e是方程f-1(x)=0的一個(gè)解.若方程f-1(x)=0還有另一個(gè)解x06ec8aac122bd4f6e,則f-1(x0)=0,由反函數(shù)的定義知f(0)=x06ec8aac122bd4f6e,與已知矛盾,故方程f-1(x)=0有惟一解.

(3)解:fx(x6ec8aac122bd4f6e)]<6ec8aac122bd4f6e,即fx(x6ec8aac122bd4f6e)]<f(0).

6ec8aac122bd4f6e

6.證明:對(duì)f(x)+f(y)=f(6ec8aac122bd4f6e)中的x,y,令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,又得f(x)+f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)在x∈(-1,1)上是奇函數(shù).設(shè)-1<x1x2<0,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(6ec8aac122bd4f6e),∵-1<x1x2<0,∴x1x2<0,1-x1x2>0.∴6ec8aac122bd4f6e<0,于是由②知f(6ec8aac122bd4f6e)?>0,從而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在x∈(-1,0)上是單調(diào)遞減函數(shù).根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,知f(x)在x∈(0,1)上仍是遞減函數(shù),且f(x)<0.

6ec8aac122bd4f6e

7.解:(1)因污水處理水池的長(zhǎng)為x米,則寬為6ec8aac122bd4f6e米,總造價(jià)y=400(2x+2×6ec8aac122bd4f6e)+248×6ec8aac122bd4f6e×2+80×200=800(x+6ec8aac122bd4f6e)+1600,由題設(shè)條件

6ec8aac122bd4f6e  解得12.5≤x≤16,即函數(shù)定義域?yàn)椋?2.5,16].

(2)先研究函數(shù)y=f(x)=800(x+6ec8aac122bd4f6e)+16000在[12.5,16]上的單調(diào)性,對(duì)于任意的x1,x2∈[12.5,16],不妨設(shè)x1x2,則f(x2)-f(x1)=800[(x2x1)+324(6ec8aac122bd4f6e)]=800(x2x1)(1-6ec8aac122bd4f6e),∵12.5≤x1x2≤16.∴0<x1x2<162<324,∴6ec8aac122bd4f6e>1,即1-6ec8aac122bd4f6e<0.又x2x1>0,∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),故函數(shù)y=f(x)在[12.5,16]上是減函數(shù).∴當(dāng)x=16時(shí),y取得最小值,此時(shí),ymin=800(16+6ec8aac122bd4f6e)+16000=45000(元),6ec8aac122bd4f6e=12.5(米)?

綜上,當(dāng)污水處理池的長(zhǎng)為16米,寬為12.5米時(shí),總造價(jià)最低,最低為45000元.

8.解:∵f(x)是奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)上也是增函數(shù).

f(1)=0,∴f(-1)=-f(1)=0,從而,當(dāng)f(x)<0時(shí),有x<-1或0<x<1,

則集合N={m|fg(θ)]<θ6ec8aac122bd4f6e={m|g(θ)<-1或0<g(θ)<16ec8aac122bd4f6e,

MN={m|g(θ)<-16ec8aac122bd4f6e.由g(θ)<-1,得cos2θ>m(cosθ-2)+2,θ∈[0,6ec8aac122bd4f6e],令x=cosθ,x∈[0,1]得:x2>m(x-2)+2,x∈[0,1],令①:y1=x2,x∈[0,1]及②y2=m(m-2)+2,顯然①為拋物線一段,②是過(2,2)點(diǎn)的直線系,在同一坐標(biāo)系內(nèi)由x∈[0,1]得y1>y2.∴m>4-26ec8aac122bd4f6e,故MN={m|m>4-26ec8aac122bd4f6e}.

 

 

 


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