如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）求直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一點P，使得

AP

=λ

PA1

，
當(dāng)二面角A-B₁C₁-P的大小為30°時，求實數(shù)λ的值．

如圖1，在平面內(nèi)，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A₁和CD D′C₁都是正方形．將兩個正方形分別沿AD，CD折起，使D′′與D′重合于點D₁．設(shè)直線l過點B且垂直于菱形ABCD所在的平面，點E是直線l上的一個動點，且與點D₁位于平面ABCD同側(cè)（圖2）．
（Ⅰ） 設(shè)二面角E-AC-D₁的大小為θ，若

π

4

≤θ≤

π

3

，求線段BE長的取值范圍；
（Ⅱ）在線段D₁E上存在點P，使平面PA₁C₁∥平面EAC，求

D1P

PE

與BE之間滿足的關(guān)系式，并證明：當(dāng)0＜BE＜a時，恒有

D1P

PE

＜1．

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱A₁A=2，
（Ⅰ）證明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）若棱AA₁上存在一點P，使得

AP

=λ

PA1

，當(dāng)二面角A-B₁C₁-P的大小為30⁰時，求實數(shù)λ的值．