(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q.設=.若∈[2.3].求的取值范圍. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知雙曲線
x2
2
-y2=1
與射線y=
1
2
x
(x≥0)公共點為P,過P作兩條傾斜角互補且不重合的直線,它們與雙曲線都相交且另一個交點分別為A,B(不同于P).
(1)求點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積;
(2)設直線PA斜率為k,求k的取值范圍;
(3)求證直線AB的斜率為定值.

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已知雙曲線數學公式與射線y=數學公式(x≥0)公共點為P,過P作兩條傾斜角互補且不重合的直線,它們與雙曲線都相交且另一個交點分別為A,B(不同于P).
(1)求點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積;
(2)設直線PA斜率為k,求k的取值范圍;
(3)求證直線AB的斜率為定值.

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已知雙曲線
x2
2
-y2=1
與射線y=
1
2
x
(x≥0)公共點為P,過P作兩條傾斜角互補且不重合的直線,它們與雙曲線都相交且另一個交點分別為A,B(不同于P).
(1)求點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積;
(2)設直線PA斜率為k,求k的取值范圍;
(3)求證直線AB的斜率為定值.

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已知雙曲線與射線y=(x≥0)公共點為P,過P作兩條傾斜角互補且不重合的直線,它們與雙曲線都相交且另一個交點分別為A,B(不同于P).
(1)求點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積;
(2)設直線PA斜率為k,求k的取值范圍;
(3)求證直線AB的斜率為定值.

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已知雙曲線C的中心在原點,D(1,0)是它的一個頂點,數學公式=數學公式是它的一條漸近線的一個方向向量.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過點(-3,0)任意作一條直線與雙曲線C交于A,B兩點 (A,B都不同于點D),求證:數學公式為定值;
(3)對于雙曲線Γ:數學公式,E為它的右頂點,M,N為雙曲線Γ上的兩點(都不同于點E),且EM⊥EN,那么直線MN是否過定點?若是,請求出此定點的坐標;若不是,說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個,寫出類似結論(不要求書寫求解或證明過程).
情形一:雙曲線數學公式及它的左頂點;
情形二:拋物線y2=2px(p>0)及它的頂點;
情形三:橢圓數學公式及它的頂點.

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一、選擇題:本大題共8個小題,每小題5分,共40分。

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

A

B

D

C

D

C

D

二、填空題:本大題共6個小題,每小題5分,共30分

9.    10. 60   11.    12.    13. 2    14. -2;1

三、解答題: 本大題共6個小題,共80分。

15. (本小題共13分)

已知函數

(Ⅰ)求函數的定義域;

(Ⅱ)求函數在區(qū)間上的最值。

解:(Ⅰ)由題意                 

所求定義域為  {}                            …………4分

(Ⅱ)

                           …………9分

   知   ,

所以當時,取得最大值為;                   …………11分

時,取得最小值為0 。                   …………13分

16. (本小題共13分)

已知數列中,,點(1,0)在函數的圖像上。

(Ⅰ)求數列 的通項;

(Ⅱ)設,求數列的前n項和。      

解:(Ⅰ)由已知        又         …………3分

 所以 數列是公比為的等比數列      所以        …………6分

     (Ⅱ) 由                                …………9分

      所以                …………13分

17. (本小題共14分)

如圖,在正三棱柱中,,的中點,點上,。

(Ⅰ)求所成角的大小;        

(Ⅱ)求二面角的正切值;

(Ⅲ) 證明.

解:(Ⅰ)在正三棱柱中,  

又  是正△ABC邊的中點,

                               …………3分

所成角

又     sin∠=                      …………5分

所以所成角為

(Ⅱ) 由已知得 

   ∠為二面角的平面角,     所以     …………9分

(Ⅲ)證明:  依題意  得   ,,

因為                        …………11分

又由(Ⅰ)中    知,且

                                      …………14分

18. (本小題共13分)

某校高二年級開設《幾何證明選講》及《數學史》兩個模塊的選修科目。每名學生至多選修一個模塊,的學生選修過《幾何證明選講》,的學生選修過《數學史》,假設各人的選擇相互之間沒有影響。

(Ⅰ)任選1名學生,求該生沒有選修過任何一個模塊的概率;

(Ⅱ)任選4名學生,求至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率。

解:(Ⅰ)設該生參加過《幾何證明選講》的選修為事件A,

參加過《數學史》的選修為事件B, 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為P,

所以 該生沒有選修過任何一個模塊的概率為                     …………6分

(Ⅱ)至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為

       

  所以至少有3人選修過《幾何證明選講》的概率為               …………13分

19. (本小題共13分)

已知函數的圖像如圖所示。

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若函數處的切線方程為,求函數的        

解析式;

(Ⅲ)若=5,方程有三個不同的根,求實數的取值范圍。

  解: 函數的導函數為  

(Ⅰ)由圖可知  函數的圖像過點(0,3),且

  得                         …………3分

(Ⅱ)依題意 

         解得  

   所以                                 …………8分

(Ⅲ)依題意

          由                                       ①

    若方程有三個不同的根,當且僅當 滿足        ②

  由 ① ②  得   

   所以 當  時 ,方程有三個不同的根。     …………13分

20. (本小題共14分)

       已知分別為橢圓的左、右焦點,直線過點且垂直于橢圓的長軸,動直線垂直于直線,垂足為,線段的垂直平分線交于點M。

(Ⅰ)求動點M的軌跡的方程;

(Ⅱ)過點作直線交曲線于兩個不同的點P和Q,設=,若∈[2,3],求的取值范圍。

解:(Ⅰ)設M,則,由中垂線的性質知

||=     化簡得的方程為                  …………3分

(另:由知曲線是以x軸為對稱軸,以為焦點,以為準線的拋物線

    所以  ,         則動點M的軌跡的方程為

(Ⅱ)設,由=  知        ①

又由 在曲線上知                   ②

由  ①  ②       解得    所以 有          …………8分

 ===  …………10分

∈[2,3], 有 在區(qū)間上是增函數,

得       進而有      

所以    的取值范圍是                             …………14分

               

 

 

 

 

 

 


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