題目列表(包括答案和解析)
已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在x軸上的橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(2,2),且拋物線的焦點(diǎn)為F1.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)垂直于OC的直線l與橢圓E交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)以AB為直徑的圓P與y軸相切時(shí),求直線l的方程和圓P的方程.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程的求解以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。第一問(wèn)中,設(shè)出橢圓的方程,然后結(jié)合拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)得到,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921190757897157/SYS201206192120259226615718_ST.files/image003.png">,這樣可知得到。第二問(wèn)中設(shè)直線l的方程為y=-x+m與橢圓聯(lián)立方程組可以得到
,再利用可以結(jié)合韋達(dá)定理求解得到m的值和圓p的方程。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為
①………………………………1分
②………………2分
③ 由①、②、③得a2=12,b2=6…………3分
所以橢圓E的方程為…………………………4分
(Ⅱ)依題意,直線OC斜率為1,由此設(shè)直線l的方程為y=-x+m,……………5分
代入橢圓E方程,得…………………………6分
………………………7分
、………………8分
………………………9分
……………………………10分
當(dāng)m=3時(shí),直線l方程為y=-x+3,此時(shí),x1 +x2=4,圓心為(2,1),半徑為2,
圓P的方程為(x-2)2+(y-1)2=4;………………………………11分
同理,當(dāng)m=-3時(shí),直線l方程為y=-x-3,
圓P的方程為(x+2)2+(y+1)2=4
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上且異于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若直線與的斜率之積為,求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若,證明直線的斜率 滿(mǎn)足
【解析】(1)解:設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由題意,有 ①
由,得,
由,可得,代入①并整理得
由于,故.于是,所以橢圓的離心率
(2)證明:(方法一)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由條件得消去并整理得 ②
由,及,
得.
整理得.而,于是,代入②,
整理得
由,故,因此.
所以.
(方法二)
依題意,直線OP的方程為,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
由P在橢圓上,有
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118494193384555_ST.files/image036.png">,,所以,即 ③
由,,得整理得.
于是,代入③,
整理得
解得,
所以.
1.(1)因?yàn)?sub>,所以
又是圓O的直徑,所以
又因?yàn)?sub>(弦切角等于同弧所對(duì)圓周角)
所以所以
又因?yàn)?sub>,所以相似
所以,即
(2)因?yàn)?sub>,所以,
因?yàn)?sub>,所以
由(1)知:。所以
所以,即圓的直徑
又因?yàn)?sub>,即
解得
2.依題設(shè)有:
令,則
3.將極坐標(biāo)系內(nèi)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系內(nèi)的問(wèn)題
點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為
故是以為斜邊的等腰直角三角形,
進(jìn)而易知圓心為,半徑為,圓的直角坐標(biāo)方程為
,即
將代入上述方程,得
,即
4.假設(shè),因?yàn)?sub>,所以。
又由,則,
所以,這與題設(shè)矛盾
又若,這與矛盾
綜上可知,必有成立
同理可證也成立
命題成立
5. 解:由a1=S1,k=.下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.
1°.當(dāng)n=1時(shí),命題顯然成立;
2°.假設(shè)當(dāng)n=k(kN*)時(shí),命題成立,
即1?2?3+2?3?4+……+ k(k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)(k+3),
則n=k+1時(shí),1?2?3+2?3?4+……+ k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)= k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)
=( k+1)(k+1+1)(k+1+2)(k+1+3)
即命題對(duì)n=k+1.成立
由1°, 2°,命題對(duì)任意的正整數(shù)n成立.
6.(1)因?yàn)?sub>,,
,所以
故事件A與B不獨(dú)立。
(2)因?yàn)?sub>
所以
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